Simulación de $P_{n}[A^{k}_{ij}\geq1]$ por diversos n y k
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Para $k=2$ y arbitraria $n$ es simple para calcular la probabilidad de tener $A^{2}_{ij}\geq1$. En general:
$$
P_{n}^{2}_{ij}\geq1)=1-(p^3-2p^2+1)(1-p^2)^{n-2}
$$
y, entonces, la probabilidad va a uno de los grandes $n$, incluso para $k=2$.
P. S. De la simulación parece que para $k\geq5$ las matrices llegar a ser bastante independientes y la probabilidad tiende a un ciclo límite...
La derivación de la fórmula para el caso de $k=2$
Consideremos, en primer lugar $n=3$.
Obviamente hemos $P(A_{ij}^2\geq1)=1-P(A_{ij}^2=0)$. Un elemento genérico de la matriz $A$ es igual a uno con una probabilidad de $p$, por lo que es igual a cero con una probabilidad de $1-p$. El número de $N$ de las rutas que conectan $i$ $j$es igual a:
$$
N=\sum_{s=1}^{3} A_{es}A_{sj}
$$
Así que tenemos que calcular la probabilidad de que esta cantidad se suma a $0$.
Primero de todo nos damos cuenta de que el elemento $A_{ij}$ aparece dos veces en la suma y así tenemos dos elementos de la suma que son dependientes y que es independiente y tenemos que tomar en cuenta esto para evitar la doble contabilización. Ahora la única manera de que esta suma es cero es que todos sus elementos son iguales a cero.
Para el independiente plazo, esto ocurre con una probabilidad de $(1-p^2)$.
Para los dependientes de los términos que hemos cero con una probabilidad de $(1-p) + p(1-p)^2$ (el primer término es la probabilidad de que $A_{ij}=0$ y teniendo presente el otro término es automáticamente nulo). Y por lo tanto tenemos:
$$
P(A_{ij,n=3}^2=0) = (1-p+p(1-p)^2)(1-p^2) = 1 - p^2(p^3-2p^2-p+3)
$$
y así
$$
P(A_{ij,n=3}^2\geq1)=p^2(p^3-2p^2-p+3)
$$
La generalización para arbitrario $n$ es ahora inmediato, porque el único enlace que aparece dos veces en el recuento es$A_{ij}$, por lo que hemos arbitrarias $n$
$$
P(A_{ij}^2=0) = (1-p+p(1-p)^2)(1-p^2)^{n-2} = (p^3-2p^2+1)(1-p^2)^{n-2}
$$
y así
$$
P(A_{ij}^2\geq1)=1-(p^3-2p^2+1)(1-p^2)^{n-2}
$$
\begin{equation}
S = \left\{ \left( \frac{p}{q}, \frac{r}{\sqrt{q}} \right) : p, q, r \in \mathbb{Z}, q > 0 \right\}.
\end\begin{equation}
\alpha n+\beta \sqrt{n}=a,
\end\begin{equation}
\alpha m+\beta\sqrt{m}=b,
\end\begin{equation}
\alpha =\frac{a\sqrt{m}-b \sqrt{n}}{n\sqrt{m}-m \sqrt{n}},
\end\begin{equation}
\beta=\frac{bn - am}{n\sqrt{m}-m\sqrt{n}},
\end\begin{equation}
\sqrt{s} = \lambda + \mu \sqrt{m} + \nu \sqrt{n} + \xi \sqrt{mn},
\end\begin{equation}
0 = -s + \lambda^2 + \mu^2 m + \nu^2 n + \xi^2 mn + 2( \lambda \mu + \nu \xi n) \sqrt{m} + 2(\lambda \nu + \mu \xi m ) \sqrt{n} + 2( \lambda \xi + \mu \nu ) \sqrt{mn},
\end\begin{equation}
\lambda \mu + \nu \xi n = 0,
\end\begin{equation}
\lambda \nu + \mu \xi m = 0,
\end\begin{equation}
\lambda \xi + \mu \nu = 0.
\end\begin{equation}
\xi = - \frac{\mu \nu}{\lambda},
\end-OLD\begin{equation}
\mu ( \lambda^2 - \nu^2 n ) = 0,
\end\begin{equation}
\nu ( \lambda^2 - \mu^2 m ) = 0,
\end\begin{equation}
\alpha u+\beta \sqrt{u}=c,
\end\begin{equation}
\alpha v+\beta\sqrt{v}=d,
\end\begin{equation}
\alpha =\frac{c\sqrt{v}-d \sqrt{u}}{u\sqrt{v}-v \sqrt{u}},
\end\begin{equation}
\beta=\frac{cv-du}{u\sqrt{v}-v\sqrt{u}},
\end--------------------
Simulación de $P_{n}[A^{k}_{ij}=1]$ por diversos n y k
He hecho una muy rápidamente simulación,
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Creo que es bastante interesante. El blu línea es la probabilidad de tener un 1 en una matriz de 3x3 después de $k$-potencia. También los son las probabilidades de las $n=4,5,6,8$. El problema es la correlación, pero parece que esta correlación rápidamente llega a cero...
Yo creo que para el caso especial $n=3$, $k=2$ la verdadera probabilidad es:
$$
P(A_{k}[i,j]=1)=p^2(1−p^2)(3−2p)
$$
donde $p$ es la probabilidad de tener un uno en el original de la matriz aleatoria.
P. S. ¿cambiar la pregunta? Esta simulación es solo para $P(A_{k}[i,j]=1)$
