¿Cuántas "sombras de nudo" diferentes puede tener un círculo incrustado en alta dimensión?

Question

Supongamos que tomo un mapa $\gamma : S^1 \to \mathbb{R}^n$ , donde $n > 3$ . Entonces, puedo proyectar $\gamma$ en un subespacio tridimensional de $\mathbb{R}^n$ y (para una elección genérica del subespacio), terminaré con un nudo en $\mathbb{R}^3$ .

¿Podemos decir algo sobre el número de nudos no equivalentes que podemos obtener al proyectar un solo $\gamma$ en diferentes subespacios? Por ejemplo, para $n = 6$ podemos tener al menos dos "sombras de nudo" no equivalentes, mediante la siguiente construcción. Tomemos $\gamma_1, \gamma_2 : S^1 \to \mathbb{R}^3$ sean dos nudos diferentes, y dejemos que $$\vec{\gamma}(t) = (\vec{\gamma_1}(t), \vec{\gamma_2}(t))$$ de modo que la proyección sobre las tres primeras coordenadas da el nudo $\gamma_1$ y la proyección sobre las segundas tres coordenadas da el nudo $\gamma_2$ . No he podido encontrar una construcción similar (para sombras de nudos múltiples) para $n=4$ o $n = 5$ Aunque creo que debería existir. Además, no he podido encontrar una construcción que dé tres sombras de nudo diferentes, aunque creo que debería existir.

Answer 1

Para cada número entero positivo $n$ existe una incrustación $f:S^1\to \mathbb{R}^4$ junto con una colección de subespacios $V_{\theta_i}$ de $\mathbb{R}^4$ donde $\dim V_{\theta_i}=3$ y tal que las imágenes de las proyecciones $(\pi_i\circ f)(S^1)$ son nudos distintos en $V_{\theta_i}$ . Aquí $\pi_i$ es la proyección de $\mathbb{R}^4$ a $V_{\theta_i}$ .

Dejemos que $K$ sea un nudo con diagrama $D$ en $\mathbb{R}^2$ . Entonces podemos realizar una incrustación de $K$ en $\mathbb{R}^3$ incrustando todo lo que no sean barrios de cruces de $D$ en el plano, y en la vecindad de un cruce, incrustar una burbuja de cruce (como abajo) en $\mathbb{R}^3$ .

El truco de mi construcción es incrustar $K$ en $\mathbb{R}^2\times\{0\}\times\{0\}$ excepto en los barrios de los cruces. En una vecindad de un cruce, incrustar la bola de cruce de tal manera que cuando se proyecte a $\mathbb{R}^3\times\{0\}$ recuperamos la incrustación en $\mathbb{R}^3$ descrito anteriormente, y cuando lo incrustamos en $\mathbb{R}^2\times\{0\}\times\mathbb{R}$ recuperamos una incrustación del espejo de $K$ es decir, invertimos los papeles del hilo superior y del hilo inferior en cada burbuja de cruce.

Se puede girar el $3$ -subespacio dimensional $\mathbb{R}^3\times\{0\}$ a la $3$ -subespacio dimensional $\mathbb{R}^2\times\{0\}\times \mathbb{R}$ . En cada ángulo $\theta$ de esta rotación, obtenemos un $3$ -subespacio dimensional $V_{\theta}$ de $\mathbb{R}^4$ .

Aunque esto es ligeramente ondulado, podemos incrustar el nudo para que los cambios de cruce se produzcan todos en ángulos distintos $\theta_1, \theta_2,\dots,\theta_n$ para que $V_{0}$ contiene $K$ , $V_{\theta_1}$ contiene $K$ con un cruce cambiado, $V_{\theta_2}$ contiene $K$ con dos cruces cambiados, etc.

Así que ahora, para completar la pregunta, sólo queda demostrar que existe una secuencia de diagramas de nudos tal que el cambio de una secuencia arbitraria de cruces dará lugar a un nuevo nudo cada vez. Sospecho que hay muchos ejemplos de este tipo, pero los diagramas estándar del $(2,n)$ -Nudos de toro debería ser suficiente.