Probar que existe un número divisible por $5^{1000}$ no contiene un único cero en su notación decimal.
La pregunta anterior es tomada de este sitio. Es la pregunta. 88 en la lista. Yo no podría encontrar alguna solución para este problema. Al parecer, una "colegial" deben ser capaces de resolver esta cuestión.
En general, tengo una corazonada de que esta declaración debe ser cierto para cualquier número (en lugar de $5^{1000}$). Sin embargo, no puedo pensar en una estrategia para mostrar que no hay ceros en la expansión decimal. Los ceros a la izquierda son triviales para atrapar pero ceros en el medio confundirme.
Hay una construcción inteligente para el caso de $5^{1000}$?
Edit: Como se explica en los comentarios, mi corazonada no tiene sentido para un múltiplo de 10.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La Idea de Enfoque
Por inducción, con el hecho de que $5^{n}$ es un divisor de a $10^n$ $10^{n-1}$ deja sólo un cierto tipo de resto cuando se divide por $5^n$.
Demanda y de la prueba
Reclamo : Para todos los $n$, existe un $n$ dígitos múltiples de $5^n$ que no contienen ceros.
Prueba : Iniciar con el caso base : $5 , 25 , 125$$n = 1,2,3$.
El caso inductivo : supongamos $L$ $n$ número de dígitos que tiene el no-cero dígitos y es un múltiplo de a $5^n$. Queremos un número de la forma $a \times 10^{n} + L$(este $n+1$ dígitos) que divide $5^{n+1}$ donde $a \neq 0$.
Bueno, si $a \times 10^n + L$ es un múltiplo de a$5^{n+1}$, el resto cuando se divide $a \times 10^n$$L$$5^{n+1}$, respectivamente, deben sumar un múltiplo de $5^{n+1}$.
Pero ambos son múltiplos de $5^n$, lo $10^n$ deja un resto de $b 5^n$ cuando se divide por $5^{n+1}$ $L$ deja un resto de $c 5^n$ cuando se divide por $5^{n+1}$.
Por lo tanto, $a 10^n + L$ deja el resto a $(ab+c)5^n$ cuando se divide por $5^{n+1}$.
Tenga en cuenta que $b$ no puede ser cero, ya $10^n$ no es un múltiplo de a $5^{n+1}$. Pero $c = 0$ es posible.
Así que la pregunta es : ¿se puede hacer $ab+c$ un múltiplo de $5$ cada vez?
Si $c = 0$, a continuación, tome $a = 5$, ya que en ese caso, independientemente de $b$ tenemos $ab+c$ es un múltiplo de a $5$.
Si $c \neq 0$ desde $b \neq 0$ tomamos $a = (-c)b^{-1} \mod 5$ donde $b^{-1}$ es el inverso multiplicativo de a $b$ modulo $5$.
Por lo tanto, en cualquier caso, hemos terminado.
Ejemplo
Sigamos de $125$. Así, tenemos que agregar la $a \times 10^3 + 125$ algunos $a$. Aquí, tenga en cuenta que $1000$ deja el resto a $3 \times 125$ cuando se divide por $5^4 = 625$ $b = 3$ $L$ deja el resto a $1 \times 125$ cuando se divide por $625$, lo $c = 1$. Por lo $b^{-1} = 2$(desde $2 \times 3 = 1 \mod 5$) y $b^{-1} \times -c = -2 = 3 \mod 5$. Compruebe que $3125$ es un número de cuatro dígitos múltiples de $625$.
A continuación, queremos un código de cinco dígitos múltiples de $5^5 = 3125$. Aquí, tenemos $c = 0$ porque $L = 3125$ es un múltiplo (de hecho iguales)$3125$, por lo que tenemos $a = 5$. Compruebe que $53125$ es un múltiplo de a $3125$.
A continuación, queremos un seis dígitos múltiples de $5^6 = 15625$. Aquí, compruebe que $L =53125$ , $c = 2$ y $ b= 2$, así que $b^{-1} = 3$ $3 \times -2 = -6 \equiv 4$ $453125$ es un múltiplo de a $15625$.
Conclusión
Por lo tanto, para todos los $n$, existe un múltiplo de $5^n$ que tiene exactamente $n$ dígitos, y además se compone sólo de los dígitos $1,2,3,4,5$ por la construcción.
Anexo
Tal vez el enfoque puede parecer un poco arbitraria. De hecho, me dieron la idea de otra pregunta que yo había resuelto alrededor de ocho años y medio (y escribió el primer $21$ términos en el consejo escolar!) : Demostrar que no es un múltiplo de a $2^n$ que se compone sólo de los dígitos $6$$7$.
El estilo de la prueba no fue exactamente el mismo : tomar un múltiplo de $2^n$ y lindan con un $6$ o $7$ a la izquierda para que las cosas salgan por el lado de alimentación.
Por último, pero no menos importante, tenga en cuenta que el post se adjunta en los comentarios a la pregunta se refiere a esta pregunta, pero no da una prueba. En su lugar, usa este hecho para demostrar que cada número no terminar con el cero tiene un múltiple sin el cero en su representación. De hecho, como se ha señalado, dicho número se pueden componerse únicamente de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7$.
