Llamar a un subconjunto $T$ $S$ "azulado" si $f(T) \ne 0$. En un colorante que cumple la condición, si $A$ $B$ son tanto azulado, a continuación, $A \cap B$ es también azulado, desde $f(A) f(B) = f(A \cup B) f(A \cap B) \ne 0$. Por lo tanto, si hay alguna azulado conjuntos en todo, no hay un único mínimo azulado set $$M = \bigcap_{T\textrm{ bluish}}T.$$
Si $M \nsubseteq T$, $T$ no es azulado y por lo tanto es de color rojo. $f(M)=1$, ya que el $M$'s sólo el azul subconjunto es $M$ sí. La elección de $M$ y el color de los conjuntos de $M \cup \{k\}$ por cada $k \in S \setminus M$ determinar la totalidad de dibujos para colorear:
(*) Dado $T \subseteq S$, $T$ es azul iff $M \subseteq T$ $M \cup \{k\}$ es azul por cada $k \in T \setminus M$.
(**) Dado $T \supseteq M$, $f(T) = 2^s$, donde $s$ es el número de $k \in T \setminus M$ tal que $M \cup \{k\}$ azul.
Las dos declaraciones (*) y (**) se demostró juntos por inducción sobre el número de elementos en $T$. Las declaraciones son obvios para $|T|=|M|$$|T|=|M|+1$. Si ambas afirmaciones son verdaderas de $T$$M \subseteq T \subseteq S$$k \notin T$, entonces tenemos que tener en
$$f(T) f(M \cup \{k\}) = f(T \cup \{k\}) f(M)$$
Si $M \cup \{k\}$ es de color rojo, a continuación,$f(M \cup \{k\})=1$$f(T) = f(T \cup \{k\}) = 2^s$, lo $T \cup \{k\}$ es de color rojo.
Si $M \cup \{k\}$ es azul, a continuación,$f(M \cup \{k\})=2$$2 f(T) = f(T \cup \{k\}) = 2^{s+1}$, lo cual sólo puede ocurrir si $T \cup \{k\}$ azul.
Por lo que el número total de colorantes es
$$ N = 1 + \sum_{i=0}^n (\mbox{choices for $M$ with $|M|=i$})(\mbox{choices for colors of $M \cup \{k\}$})$$
donde el uno extra para colorear es el colorante rojo donde $M$ no existe.
$$ N = 1 + \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} 2^{n-i} = 1 + (1+2)^n = 1 + 3^n$$
