$x^n = x$ implica conmutatividad, un universal de la prueba de álgebra?

Question

He leído en una respuesta en MO que Nathan Jacobson había dado un universal algebraicas prueba de que un anillo de satisfacer la ecuación de $x^n=x$ es conmutativa.

El boceto dado en la respuesta es muy clara : wlog uno puede asumir que $R$ es subdirectly irreductible, como consecuencia de un resultado general en álgebra universal (es decir, tiene un mínimo ideal distinto de cero).

Entonces uno se demuestra que un subdirectly irreductible anillo que satisface la ecuación es un número finito (skew, a priori) de campo, y uno llega a la conclusión de Wedderburn del teorema que es conmutativa.

Pero estoy teniendo problemas con el paso interesante, que es

Un subdirectly irreductible anillo de satisfacer la ecuación de $x^n=x$ algunos $n\geq 2$ es finito, de la división de anillo

Tuve la folliwing idea : desde $R$ no tiene nilpotent elementos debe ser una subdirect producto de la integral de los dominios de la satisfacción de las mismas ecuaciones - sin embargo, yo conozco esta propiedad conmutativa de los anillos, y se basa en el hecho bien conocido de que $\displaystyle\bigcap\{p, p\in \mathrm{Spec}R\} = \{x, x$ es nilpotent $\}$ - y no sé si esto es cierto para no conmutativa anillos.

Como cuestión de hecho, estoy bastante convencido de que no es cierto (en $M_n(K)$, $K$ un campo, $n\geq 2$, el conjunto de nilpotent elementos no es un bilaterales ideal - de hecho, no hay ninguna que no sea trivial). Así que a menos que esta idea puede ser salvo por los detalles de la situación, yo no puedo seguir adelante con ella.

Lo que también me di cuenta (no sé si eso puede ayudar, aunque) es que $I^2 = I$ si $I$ denota el mínimo ideal distinto de cero.

También puedo hacer una conexión con el teorema de Wedderburn por estudiar el caso en que $Z(R)$ (en el centro) es un campo; y por lo $R$ $Z(R)$- espacio vectorial. Entonces, es un campo finito. Yo todavía no puede ver por qué la $Z(R)$ sería finito dimensionales (es probable que esto ayuda mucho).

Estoy en cualquier lugar cerca de la dirección correcta ? ¿Alguien puede dar algunas sugerencias para resolver esto ? (Si es posible - sé que a veces es no - prefiero ver algunos consejos de una solución completa; y también, si alguien ha leído el artículo en cuestión y vio que la prueba en cuestión era más de lo que a MS de respuesta puede sugerir, también me gustaría saber jaja)

EDIT: Aquí está el MO pregunta : https://mathoverflow.net/questions/30220/abstract-thought-vs-calculation La respuesta estoy mencionando debe ser reconocible

Answer 1

Un subdirectly irreductible anillo de la satisfacción de las la ecuación de $x^n=x$ algunos $n\geq 2$ es finito, de la división de anillo

Primero vamos a considerar la parte primaria de esta declaración. Observar

Lema. Si $R$ es un subdirectly irreductible anillo con el no distinto de cero elementos que la plaza a cero, entonces $R$ no tiene no trivial divisores de cero.

Razonamiento: Supongamos que no. A continuación, $R$ tiene elementos $a\neq 0\neq b$ tal que $ab=0$. El conjunto $bRa$ se compone de los elementos que la plaza de cero, por lo $bRa=\{0\}$. A continuación,$(b)(a)=RbRaR=R\{0\}R=\{0\}=(0)$. Si $I$ ius menos distinto de cero ideal de $R$, luego $I\subseteq (b)$ $I\subseteq (a)$ , lo $I^2\subseteq (b)(a)=(0)$. Esto demuestra que todos los elementos de a $I$ plaza a cero, una contradicción. \\\

Aquí es cómo el lema se aplica. Ningún elemento distinto de cero $a\in R$ plazas a cero puede satisfacer la ecuación de $x^n=x$, así que el lema implica que si $R$ es subdirectly irreductible, y satisface $x^n=x$, $R$ no tiene trivial divisores de cero. Dado cualquier valor distinto de cero $a\in R$ tenemos $0=a^n-a = a(a^{n-1}-1)$. Desde $a\neq 0$, debe ser que $a^{n-1}-1=0$. Por lo tanto, cualquier valor distinto de cero $a\in R$ satisface $a^{n-1}=1$, mostrando que distinto de cero elementos son las unidades. Por lo tanto, $R$ es un anillo de división.

El nonelementary parte de la declaración de

Un subdirectly irreductible anillo de la satisfacción de las la ecuación de $x^n=x$ algunos $n\geq 2$ es finito, de la división de anillo

es que una división de $R$ cuyo valor distinto de cero elementos satisfacer $x^{n-1}=1$ debe ser finito. La idea de esto es probar primero que cualquier máxima subcampo de $R$ es finito (que es fácil), luego de probar que cualquier finito máxima subcampo de $R$ ha finito índice en $R$ (ver Lam Un Primer Curso en No Conmutativa Anillos, Teorema De 15.4).

Answer 2

Yo tenía la idea siguiente: desde $R$ no tiene nilpotent elementos debe ser una subdirect producto de la integral de los dominios de la satisfacción de las mismas ecuaciones - sin embargo, yo conozco esta propiedad conmutativa de los anillos, y se basa en el hecho bien conocido de que $\displaystyle\bigcap\{p, p\in \mathrm{Spec}R\} = \{x, x \text{ is nilpotent}\}$ - y no sé si esto es cierto para no conmutativa anillos.

Que tanto es cierto para no conmutativa anillos.

La condición de que $x^n = x$ algunos $n$ implica $R$ es von Neumann regular, y es bien sabido que una reducción en el VNR anillo (que se llama fuertemente regular anillo) es un subdirect producto de la división de los anillos. Por lo tanto, un subdirectly irreductible anillo con estas propiedades es un anillo de división.

La cosa que trabajan para nosotros aquí es que en un mercado regular anillo, cocientes por el primer ideales son la división de los anillos, por lo que el primer ideales en realidad satisface la propiedad conmutativa de la definición de "primo". Como tal, su intersección contiene todos los nilpotent elementos, y su intersección es igual a cero. Así, usted puede confiar en un argumento similar.