¿Por qué los matemáticos construyeron sistemas de números reales extendidos, $ \mathbb R \cup\ {+ \infty ,- \infty\ }$ ?

Question

Sé que algunas propiedades no pueden ser definidas con el sistema de números reales como la supremacía de un conjunto sin límites. pero quiero saber la filosofía detrás de esta construcción (sistema de números reales extendidos ( $ \mathbb R \cup\ {+ \infty ,- \infty\ } $ ) y el sistema de números reales ampliado proyectamente ( $ \mathbb R \cup\ { \infty\ }$ )) y por qué los matemáticos querían hacerlo? cuáles son las hermosas propiedades que lograron? Quiero una respuesta con un punto de vista filosófico.

P.D. ¿Hay algún libro o nota o algo a lo que pueda referirme?

Answer 1

Creo que la razón filosófica más extrema podría ser que las matemáticas son inventadas por matemáticos que son curiosos e inventivos e inventan cosas que encuentran bellas. O, pensando como un platonista, todas esas estructuras están ahí fuera en algún sentido y los matemáticos que exploran ese mundo tropiezan con esas estructuras extendidas y les gusta pasar tiempo pensando en ellas.

En un sentido más estricto, muchas de estas extensiones son una especie de "terminación". Se necesitan los enteros negativos para poder restar, así que se extienden los números naturales. Se necesitan los racionales para dividir. Se necesitan los reales para tener una raíz cuadrada de $2$ (en realidad, sólo se necesita el álgebra para ello). Necesitas que los números complejos tengan una raíz cuadrada de $-1$ - y entonces se obtiene el teorema fundamental del álgebra como consecuencia. (Y puedes extender los números reales para incluir los números infinitesimales, y luego hacer el cálculo con ellos en lugar del tratamiento habitual con límites). Así que las extensiones están pensadas para resolver problemas.

Si entonces sólo tienes curiosidad puedes buscar estructuras multiplicativas en espacios euclidianos de mayor dimensión, demostrar que no hay ninguna en dimensión $3$ , hallar los cuaterniones de dimensión $4$ y demostrar que no hay más a menos que renuncies a la asociatividad. Es una historia interesante.

Extiendes el plano para añadir puntos y una línea en el infinito, de modo que los axiomas se vuelven más ordenados y simétricos: dos puntos determinan una línea, dos líneas determinan un punto. Entonces obtienes unos bonitos teoremas y, si eres un pintor del Renacimiento, codificas la perspectiva.

En realidad (si se permite la palabra) la mayoría de las extensiones no son sólo "añadir elementos a las estructuras". Son abstracciones. Los grupos captan la idea de simetría. El cálculo capta la idea de cambio. La geometría y la topología captan la idea de forma.

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Editar en respuesta al comentario.

Para el platonista no hay distinción entre el mundo real y el abstracto. Todas esas nociones matemáticas son reales, están ahí fuera, en alguna parte. Tan reales como el interior de las estrellas para un astrofísico. Las exploramos para descubrir cómo se comportan. Tanto en física como en matemáticas, las cosas que exploramos están cada vez más lejos de la parte del mundo real que podemos tocar y ver, pero no por ello son menos reales.

Por cierto, no todos los matemáticos son platónicos. Hay buenos argumentos filosóficos que afirman que los humanos inventan las matemáticas, no las descubren Pero creo que la mayoría de los matemáticos en activo, sean platonistas o no, creen en la realidad de su materia. Sólo difieren sobre si es inventada o descubierta. Sólo los de fuera dicen "eso es abstracto, no es real".

Answer 2

Lo olvidé al escribir mis comentarios a la pregunta, pero una de las razones es la compacidad.

Por ejemplo, utilizando los reales extendidos, el Teorema del Valor Extremo, "Una función continua en un intervalo compacto está acotada", tiene el siguiente corolario: "Una función continua en $\Bbb R$ con $\lim_{x\to\infty}f(x)$ y $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ definido está acotado". Sin los reales extendidos, tendríamos que demostrarlo por separado.

Answer 3

A menudo, en matemáticas, la mejor manera de entender los sistemas "extendidos" es que en realidad no hemos extendido nada en absoluto, sólo hemos inventado el lenguaje para describir un fenómeno o un patrón que ya estaba ahí.

Por ejemplo, en la geometría estándar las líneas se cruzan en un único punto o son paralelas. En geometría proyectiva decimos que todas las líneas se cruzan: pero posiblemente en un punto en el infinito. Esto es, literalmente, sólo dar un nombre diferente a las líneas paralelas. Inventamos nuevas palabras. Pero este nuevo lenguaje nos permite expresar patrones en las matemáticas que no hemos inventado en absoluto: estaban ahí todo el tiempo.

Tome la línea real extendida con $\{+\infty, -\infty\}$ y también extender los operadores aritméticos a estos dos nuevos puntos en las formas obvias (dejando las formas no obvias sin definir): $\infty - \infty$ y $\frac \infty \infty$ ). Entonces los siguientes son todos teoremas perfectamente rigurosos:

1. Cualquier función monótona converge.
2. Si $f$ y $g$ convergen, entonces $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ . (Edición: mientras no tengamos $f\to+\infty$ y $g\to-\infty$ o viceversa, pero por ejemplo $f\to\infty$ y $g\to5$ seguirá funcionando)
3. Todo conjunto tiene un supremio y un infinito.
4. Una función continua en un intervalo cerrado está acotada y alcanza sus límites. Por ejemplo, $x^2$ en el intervalo cerrado $[-\infty, +\infty]$ alcanza sus límites: $\infty^2 = +\infty$ .
5. Una secuencia de puntos en un intervalo cerrado debe contener una subsecuencia convergente.

La línea real es ya extendida. Sólo estamos definiendo el lenguaje para expresar ese hecho.

Answer 4

Desde un "punto de vista filosófico", una de las razones para definir los números reales extendidos es porque los números $\pm \infty$ cuantificar una serie de objetos y nociones matemáticas numéricas y geométricas y simplificar las cosas en general. En otras palabras, no lo hicieron por filosofía Lo hicieron por el bien de matemáticas .

Uno de los ejemplos más sencillos es que los utilizamos para expresar intervalos; el conjunto de los números reales positivos puede expresarse como $(0, +\infty)$ con $0$ y $+\infty$ siendo el (excluido) puntos finales del intervalo.

Otro ejemplo es que, en lugar de tener casi una docena de diferentes extensiones ad-hoc de la noción de límite, cosas como $\lim_{x \to 0} 1/x^2 = +\infty$ son simplemente límites ordinarios en el sentido de la topología, en lugar de ser simplemente una notación formal ad hoc. $1/x^2$ converge a $+\infty$ como $x \to 0$ .

Del mismo modo, una serie de funciones estándar pueden extenderse continuamente para tener valores en $\pm \infty$ simplificando varias cosas, como el cálculo de los límites. Por ejemplo, podemos definir cosas como $\log(+\infty) = +\infty$ o $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$ y estas funciones siguen siendo continuas.

Los números reales extendidos son también la extensión más simple de la línea real que tiene la completo propiedad de límite superior mínimo: cada subconjunto de la línea real extendida tiene un límite superior mínimo en los números reales extendidos.

Topológicamente, la línea real extendida es un espacio topológico compacto. Los espacios topológicos compactos son extremadamente agradables. Por ejemplo, toda función continua de valor real en la recta real ampliada tiene un valor máximo. (¡no sólo un supremum!) Esto permite demostrar instantáneamente teoremas como

Teorema: Dejemos que $f$ sea una función continua $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ son números reales. Entonces $f$ está acotado.

simplemente eliminando las discontinuidades en $\pm \infty$ para obtener una función continua en la recta real extendida.

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La línea real proyectiva, según creo, sale de la geometría (algebraica).

El plano proyectivo fue un importante avance en el campo de la geometría euclidiana, y los números reales proyectivos son simplemente la versión unidimensional de éste.

Resulta que los espacios proyectivos desempeñan un papel central en la realización de la geometría algebraica.