¿Qué se puede decir si $A^2+B^2+2AB=0$ de $2\times2$ matrices $A$$B$?

Question

Deje $A,B\in M_2(\mathbb{R})$ ser tal que $A^2+B^2+2AB=0$$\det A= \det B$. Nuestro objetivo es calcular los $\det(A^2 - B^2)$. De acuerdo a la cadena de comentarios en el Arte de la Resolución de problemas, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. $\det(A^2+B^2)+\det(A^2-B^2)=2(\det A^2+\det B^2)$. (Es bien conocido?)
2. (1) $\implies \det(A^2-B^2)=0$.
3. Si $A,B\in M_2(\mathbb{C})$ satisfacer $A^2+B^2+2AB=0$,$AB=BA$.
4. $(A+B)^2=0 \implies \det(A^2-B^2)=0$.

Alguien me puede ayudar con justifican la existencia de estas declaraciones?

Editar: Doug M dio una explicación de por (1) en las respuestas. Aquí es una explicación de por (2): $A^2+B^2+2AB=O_2 \implies A^2+B^2=-2AB$. Por lo $\det(A^2+B^2)=4\det(AB)$. Ahora, utilizando (1), $\det(A^2-B^2)= 2(\det(A^2)-2\det(AB)+\det(B^2)) = 2((\det(A)^2-\det(B)^2) = 0$.

Answer 1

Por supuesto, el OP no entiendo mucho sobre el ejercicio propuesto. En particular, en $M_2(\mathbb{C})$, $A^2 +B^2+2AB=0$ implica $\det(A)=\det(B)$.

De hecho, el resultado es muy interesante

La proposición. Deje $A,B\in M_2(\mathbb{C})$ ser tal que $(1)$ $A^2+B^2+2AB=0$; a continuación,$AB=BA$. Tenga en cuenta que el resultado funciona sólo en la dimensión $2$.

Prueba. Si $H=A+B$,$H^2=HA-AH$$trace(H^2)=0$. Por otra parte $H^3=H^2A-HAH=HAH-AH^2$ implica que el $trace(H^3)=0$. Podemos deducir que los autovalores de a $H$ $0$, $H$ es nilpotent, $H^2=0$, $AH=HA$, $AB=BA$. $\square$

Observación. De acuerdo con la Proposición, $(1)$ implica que $(A+B)^2=0$, $\det(A+B)=0$, $\det(A^2-B^2)=0$; por otra parte $AB=BA$ implica que el $A,B$ son simultáneamente triangularizable; desde $A+B$ es nilpotent, podemos suponer que la $A=\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-a&d\\0&-b\end{pmatrix}$ y, en consecuencia, $\det(A)=\det(B)$.

Answer 2

Si $A = \pmatrix {a&b\\c&d}, B = \pmatrix {e&f\\g&h}$

$\det (A+B) + \det (A-B)\\(a+e)(c+h) - (b+f)(c+g) + (a-e)(c-h) - (b-f)(c-g)\\ 2ac+2eh - 2bc-2fg\\2(\det A + \det B)$

$\det (A+B) + \det (A-B) = 2(\det A + \det B)$

En el que caso de que la premisa inicial, de hecho, sostiene.

Estoy bastante seguro de que esto se sostiene solamente en el $2\times2$ de los casos.