Deje $A,B\in M_2(\mathbb{R})$ ser tal que $A^2+B^2+2AB=0$$\det A= \det B$. Nuestro objetivo es calcular los $\det(A^2 - B^2)$. De acuerdo a la cadena de comentarios en el Arte de la Resolución de problemas, las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- $\det(A^2+B^2)+\det(A^2-B^2)=2(\det A^2+\det B^2)$. (Es bien conocido?)
- (1) $\implies \det(A^2-B^2)=0$.
- Si $A,B\in M_2(\mathbb{C})$ satisfacer $A^2+B^2+2AB=0$,$AB=BA$.
- $(A+B)^2=0 \implies \det(A^2-B^2)=0$.
Alguien me puede ayudar con justifican la existencia de estas declaraciones?
Editar: Doug M dio una explicación de por (1) en las respuestas. Aquí es una explicación de por (2): $A^2+B^2+2AB=O_2 \implies A^2+B^2=-2AB$. Por lo $\det(A^2+B^2)=4\det(AB)$. Ahora, utilizando (1), $\det(A^2-B^2)= 2(\det(A^2)-2\det(AB)+\det(B^2)) = 2((\det(A)^2-\det(B)^2) = 0$.