Encuentre $n$ para lo cual $\frac{n(n+1)}{2}$ es cuadrado perfecto

Question

Demostrar que existe una cantidad infinita de números naturales para los que $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ es un cuadrado perfecto.

Answer 1

Este tipo de ecuaciones entran en la categoría de lo que se conoce como Ecuación de Pell . Una clase más general de ecuaciones se denominan Ecuación diofantina . Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica en dos o más variables, en la que las variables sólo pueden tomar valores enteros. Por ejemplo, para encontrar las soluciones enteras de $3x+4y = 5 \,\,\,\,\, (\star)$ es un ejemplo clásico de ecuación lineal diofántica en dos variables. La solución general de la ecuación anterior $(\star)$ viene dada por $(3+4n,-1-3n)$ donde $n$ es cualquier número entero.

Sin embargo, en general, el grado de la ecuación diofantina puede ser arbitrario y el número de variables también. La ecuación de Pell constituye una clase especial de ecuación diofántica. Es una ecuación cuadrática en dos variables de un tipo específico como se muestra a continuación. $$x^2 - Ny^2 = 1$$ donde $N$ es un número entero no cuadrado, es decir $N$ se puede decir $2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,\ldots$ . Esta ecuación fue estudiada por primera vez por Brahmagupta, que vivió alrededor de $6^{th}$ De hecho, utilizaremos su método denominado "método Chakravala" para resolver el problema original. El nombre sánscrito "Chakravala" significa "cíclico". El "método Chakravala" se basa en la siguiente identidad $$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2 ) = (x_1x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$$ El nombre "Chakravala" se debe a que partimos de dos números de la forma $x^2-Ny^2$ y multiplicarlo para obtener otro número de la forma $x^2 - Ny^2$ . Por lo tanto, si $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ satisfacer $x^2 - Ny^2 = 1$ es decir, si tenemos $x_1^2 - Ny_1^2 = 1$ y $x_2^2 - Ny_2^2 = 1$ multiplicando los dos y reordenando, obtenemos que $$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2 ) = (x_1x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = 1$$ Esto nos permite generar más soluciones, ya que $(x_1x_2 + Ny_1 y_2,x_1y_2 + x_2y_1)$ ahora satisface $x^2 - Ny^2$ . De hecho, si sabemos que $(x_1,y_1)$ satisfacer $x_1^2 - Ny_1^2 = 1$ entonces $$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_1^2 - Ny_1^2) = 1 \implies (x_1^2 + Ny_1^2)^2 - N(2x_1y_1)^2 = 1$$ De hecho, se puede decir más. Si elegimos $(x_1,y_1)$ adecuadamente satisfaciendo $x_1^2 - Ny_1^2 =1$ entonces todas las soluciones se pueden obtener como $$\left( \dfrac{\left(x_1 + \sqrt{N} y_1 \right)^n+\left( x_1 - \sqrt{N} y_1 \right)^n}{2} , \dfrac{\left(x_1 + \sqrt{N} y_1 \right)^n-\left( x_1 - \sqrt{N} y_1 \right)^n}{2\sqrt{N}} \right)$$ donde $n$ es cualquier número entero positivo. Obsérvese que $n=1$ nos da la solución original $(x_1,y_1)$ . Veámoslo en acción.

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Ejemplo :

Encontrar todas las soluciones enteras positivas para $x^2 - 2y^2 =1$ . La razón por la que elegimos este ejemplo es que está relacionado con nuestro problema original. Obsérvese en primer lugar que $(3,2)$ satisface este problema ya que $3^2 -2 \times 2^2 = 1$ . Este será ahora el generador. (Este generador de hecho genera todas las soluciones enteras positivas.) Así que ahora vamos a ver cómo generamos soluciones. Tenemos $$\begin{align*} 3^2 - 2 \times 2^2 & = 1\\ (3+ 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) & = 1\\ \end{align*}$$ Ahora cuadremos ambos lados y procedamos. $$\begin{align*} (3+ 2 \sqrt{2})^2 (3 - 2 \sqrt{2})^2 & = 1\\ (9 + 8 + 12 \sqrt{2}) (9 + 8 - 12 \sqrt{2}) & = 1\\ (17 + 12\sqrt{2}) (17 - 12\sqrt{2}) & = 1\\ 17^2 - 2 \times 12^2 & = 1 \end{align*}$$ Por lo tanto, ahora encontramos que $(17,12)$ satisface la ecuación $x^2 -2y^2 = 1$ . Ahora vamos a encontrar una solución más basada en el mismo método y la idea general debería estar clara. Como antes, tenemos $(3+ 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) =1$ . Ahora cubiquemos ambos lados y procedamos. $$(3+ 2 \sqrt{2})^3 (3 - 2 \sqrt{2})^3 = 1^3$$ $$(3^3 + 3 \times 3^2 \times 2 \sqrt{2} + 3 \times 3 \times (2 \sqrt{2})^2 + (2 \sqrt{2})^3) (3^3 - 3 \times 3^2 \times 2 \sqrt{2} + 3 \times 3 \times (2 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{2})^3) = 1$$ $$(27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2}) (27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 16 \sqrt{2}) = 1$$ $$(99 + 70 \sqrt{2}) (99 - 70 \sqrt{2}) = 1$$ $$99^2 - 2 \times 70^2 = 1$$ Por lo tanto, en general, planteamos la ecuación $(3+ 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) =1$ a la $n^{th}$ potencia en ambos lados para obtener la solución general. La solución general puede escribirse de forma compacta como $$(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^n+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^n}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^n-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^n}{2\sqrt{2}} \right)$$ donde $n$ es cualquier número entero positivo.

$n=1$ nos da $(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^1+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^1}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^1-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^1}{2\sqrt{2}} \right) = \left( 3,2\right)$ .

$n=2$ nos da $(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^2+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^2}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^2-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^2}{2\sqrt{2}} \right) = \left( 17,12\right)$ .

$n=3$ nos da $(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^3+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^3}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^3-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^3}{2\sqrt{2}} \right) = \left( 99,70\right)$ .

$n=4$ nos da $(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^4+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^4}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^4-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^4}{2\sqrt{2}} \right) = \left( 577, 408\right)$ .

$n=5$ nos da $(x,y) = \left( \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^5+\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^5}{2} , \dfrac{\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^5-\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^5}{2\sqrt{2}} \right) = \left( 3363, 2378\right)$ . y así sucesivamente...

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Volviendo al problema original :

Veamos ahora cómo se relaciona esto con nuestro problema original. El problema original nos llevó a la ecuación $(n^2 + n) -2 x^2 = 0$ . Multiplicar por $4$ nos da $(4n^2 + 4n) - 8x^2 = 0$ . Añadir $1$ nos da $$(4n^2 + 4n + 1) - 2(2x)^2 = 1 \implies (2n+1)^2 - 2(2x)^2 = 1$$ Llamando a $(2n+1)$ como $X$ y $2x$ como $Y$ obtenemos que $X^2 - 2Y^2 = 1$ . Este fue precisamente el problema que resolvimos en el párrafo anterior. De ahí que podamos enumerar todas las soluciones.

Answer 2

Reescribir como $4n^2+4n=8z^2$ entonces como $(2n+1)^2-8z^2=1$ .

Así que queremos demostrar que el Ecuación Pell $x^2-2y^2=1$ tiene infinitas soluciones con $n$ impar y $y$ incluso. Pero en realidad todas las soluciones tienen $x$ impar y $y$ incluso. Esto es fácil de demostrar, ya que el cuadrado de un número impar es congruente con $1$ modulo $8$ .

La ecuación Pell $x^2-2y^2=1$ tiene solución fundamental $x=3$ , $y=2$ . Por sustitución directa, se puede comprobar que si $(a,b)$ es una solución, entonces $(3a+4b,2a+3b)$ es una solución.

Answer 3

Si encuentras dos números $x,y$ tal que $x^2-2y^2=\pm 1$ entonces $n=xy$ funcionará. Entonces puedes probar que dada una solución $(x,y)$ entonces $(x+2y,x+y)$ será otra solución. $(1,0)$ te pone en marcha.