La comprensión de una prueba en MacLane-Moerdijk "Gavillas en la Geometría y la Lógica"

Question

Estoy tratando de entender la prueba del Teorema 2 de la Sección 5, Capítulo I, de MacLane-Moerdijk "Gavillas en la Geometría y la Lógica".

Teorema 2. Si $A \colon \mathbf C \to \mathcal E$ es un functor de una pequeña categoría $\mathbf C$ a un cocomplete categoría $\mathcal E$, el functor $R$ $\mathcal E$ a pre poleas dada por $$R(E) \colon C \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(A( C ),E)$$ ha dejado adjoint $L \colon \mathbf{Sets}^{\mathbf C^\mathrm{op}} \to \mathcal E$ definidos para cada presheaf $P$ $\mathbf{Sets}^{\mathbf C^\mathrm{op}}$ como el colimit $$L( P ) = \mathrm{Colim}\left( \int P \xrightarrow{\pi_P} \mathbf C \xrightarrow A \mathcal E \right).$$ En otras palabras, hay un par de adjoint functors $L \dashv R$, como en $$L \!: \mathbf{Sets}^{\mathbf C^\mathrm{op}} \xrightarrow {\xleftarrow{}} \mathcal E : \! R$$ dónde ponemos la izquierda adjoint $L$ a la izquierda.

Mi dificultad es comprender exactamente por qué la colección de mapas del juego $$\lbrace\tau_C:P(C)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(A(C),E)\rbrace_C$$ can be considered as a family $$\lbrace \tau_C(p):A(C)\to E \rbrace_{(C,p)}$$ indexed by objects $(C,p)$ of the category of elements of $P$.

Creo que puedo ver aproximadamente razón por la que tiene, pero no estoy seguro de cómo funciona esto exactamente: por Lo que tiene una función de $\tau_C:P(C)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(A(C),E)$ que envía un elemento $p$ del conjunto de $P(C)$ a un morfismos $A(C)\to E$ (es esto exactamente lo que la función de $\tau_C$ ¿?) en $\mathcal{E}$. Para cada función corresponde a $|P(C)|$ morfismos $A(C)\to E$ $\mathcal{E}$ - uno por cada elemento de a $p\in P(C)$, lo que le da a la familia $\lbrace \tau_C(p):A(C)\to E \rbrace_{(C,p)}$. Pero, ¿cómo es esto lo hizo preciso? (Si es correcto). Gracias!

Answer 1

No hay nada de aproximadamente de hecho en lo que escribió : tiene una colección (vamos a olvidarnos de connaturalidad por ahora) $(\tau_C \colon P( C ) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(A(C ), E))_C$ de las aplicaciones entre conjuntos, de modo que para cada una de las $C$ y cada una de las $p \in P( C)$ (que es para cada objeto $(C,p)$$\int P$), que han $$\tau_C( p ) \in \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(A(C ), E),$$ que es una de morfismos $\tau_C( p ) \colon A( C ) \to E$$\mathcal E$. Puesto que usted tiene para cada objeto $(C,p)$$\int P$, lo que le da la familia $$(\tau_C( p ) \colon A( C ) \to E )_{(C,p)}$$ de Mac Lane prueba.

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Sólo ahora que usted se preocupe acerca de la connaturalidad de $(\tau_C)_C$ : junto con la definición de las flechas de $\int P$, esto le da a usted que para cada flecha $u \colon (C',p') \to (C,p)$, el diagrama de $$\begin{array}{rcccl} & & \tau_{C'}( p' ) & & \\ & A \pi_P C' & \longrightarrow & E & \\ A\pi_P (u) & \downarrow & & \parallel & \\ & A\pi_P C& \longrightarrow & E & \\ & & \tau_{C}( p ) & & \end{array}$$ desplazamientos, lo $(\tau_C( p ))_{(C,p)}$ un cocone de vértice $E$ sobre el diagrama de $A\pi_P$. (Esto es sólo una reescritura del diagrama (10) de Mac Lane prueba, que no es de cristal claro, debo decir.)

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Edit. Lo que se hace por encima de construir una aplicación $\mathrm{Nat}(P, R(E)) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(L( P ), E)$. Se admite una obvia a la inversa :

• tome una flecha $f \colon L( P ) \to E$ ;
• para $L( P )$ es el colimit del diagrama de $A \pi_P$, viene con flechas $i_{(C,p)} \colon A( C ) \to L( P )$ por cada $(C,p)$ objeto de $\int P$ ;
• deje $\tau_{(C,p)} \colon A( C ) \to E$ se define como $f \circ i_{(C,p)}$ (y creo que de esa colección como la $\tau_C( p )$ desea tener al final) ;
• entonces podemos llamar a $\tau_C \colon P( C ) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(A( C ), E)$ la aplicación se define como $$p \mapsto \tau_{(C,p)} ;$$
• el hecho de que $(\tau_{(C,p)})_{(C,p)}$ es un cocone con vértice $E$ sobre el diagrama de $A\pi_P$ muestra que $(\tau_C)_C$ es una transformación natural.

Construye $\mathrm{Hom}_{\mathcal E}(L( P ), E) \to \mathrm{Nat}(P, R(E))$, búsqueda inversa. Así que, finalmente, $$\mathrm{Nat}(P, R(E)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal E}(L( P ), E).$$

La connaturalidad de un bijection se deja para el lector en Mac Lane prueba, como lo es por mí :) .