Si Hom(M,-) es estable bajo cambio de base, ¿es entonces M f.g. proyectivo?

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo. Sea $M$ ser un $R$ -con la siguiente propiedad:

Para cada conmutativo $R$ -álgebra $A$ y cada $R$ -módulo $N$ el mapa canónico $\mathrm{Hom}_R(M,N) \otimes_R A \to \mathrm{Hom}_R(M,N \otimes_R A)$ es un isomorfismo.

¿Implica esto que $M$ ¿es proyectivo finitamente generado? Si no es así, ¿qué ocurre cuando incluso suponemos la siguiente propiedad?

Para cada homomorfismo de conmutativa $R$ -algebras $A \to B$ y cada $A$ -módulo $N$ el mapa canónico $\mathrm{Hom}_R(M,N) \otimes_A B \to \mathrm{Hom}_R(M,N \otimes_A B)$ es un isomorfismo.

Si esto es demasiado difícil en general, ¿qué tal ejemplos explícitos para $R$ ?

Answer 1

Si el mapa canónico es un iso para todo módulos $A$ entonces tomando $N=R$ y $A=M$ obtenemos una iso $\hom_R(M,R)\otimes_RM\to\hom_R(M,M)$ . La preimagen de $1_M$ da una base dual para $M$ .

Si desea la hipótesis sobre álgebras únicamente, probablemente se pueda reducir a lo anterior considerando el $R$ -álgebra $A=R\oplus M$ con $M\cdot M=0$ . Uno tiene que comprobar esto da la hipótesis en todos los módulos - no he mirado :-)