Mostrando que un grupo cíclico de orden de la energía tiene solamente 1 composición serie

Question

Estoy tratando de mostrar que un grupo cíclico de orden de la energía tiene solamente 1 composición serie. ¿Es correcta la siguiente?

Que $G=C_{p^n}$. Entonces, como los grupos cíclicos son abelian tenemos que hay un subgrupo de cada orden dividiendo $p^n$, que es $1,p,p^2,...$, entonces estos son todo el normal (como $G$ es abelian) cíclicos y tan únicos hasta isomorfismo.

Así que si partimos de cualquier serie subnormal $\displaystyle{{1}\triangleleft C{p^i} \triangleleft C{p^n}}$ entonces siempre podemos afinarla para que es:

${1}\triangleleft Cp\triangleleft C{p^2}\triangleleft .....\triangleleft C_{p^m}$

Answer 1

Que parece correcto. Los hechos que usted necesita son:

1. Un (finito) cíclico grupo tiene al menos un subgrupo de un orden dado (o, para decirlo de otra manera, cualquier cíclico grupo tiene al menos un subgrupo de un índice determinado).
2. Un cociente de un grupo cíclico es cíclico.
3. Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
4. Un trivial grupo cíclico es simple iff es de primer orden.