Cuándo hacer u-sustitución y cuándo integrar por partes

Question

Estoy en mi primer semestre de cálculo, por lo que los problemas que estoy enfrentando son tan duros como los de KhanAcademy cálculo de la lista de reproducción. Actualmente estoy haciendo la integración, un poco difícil, parte del curso. Haciendo derivados es la mecánica, encontrar la integral es un arte.

Las dos principales técnicas que se mostraron son

• u-sustitución
• integración por partes

Mi pregunta es: ¿existe alguna regla del pulgar (de preferencia con una razón lógica detrás de esto) de cuándo utilizar?

Answer 1

Siempre hacer una $u$-sub si puede; si no, considere la posibilidad de integración por partes.

Un $u$-sub puede hacer cuando usted tiene algo que contiene una función (vamos a llamar a esta $g$), y ese algo es multiplicado por la derivada de la $g$. Es decir, si usted tiene $\int f(g(x))g'(x)dx$, el uso de un u-sub.

Integración por partes es cuando usted tiene dos funciones multiplicados juntos, que se puede integrar con la que puede diferenciar.

Mi estrategia es intentar "jugar" en mi mente y tratar de ver cuál es la mejor. La mejor manera de mejorar en este tipo de integrales, es la práctica de grandes conjuntos de cada tipo. A continuación, empezar a pensar "Oh--esto se ve como un u-sub!" o, "tal vez por partes es mejor para esto." La práctica es realmente la mejor manera de mejorar en el reconocimiento de cada tipo.

Answer 2

Sustitución de U es para las funciones que pueden escribirse como el producto de otra función y su derivada. $$\int u du$$

Integración por partes es para las funciones que pueden escribirse como el producto de la derivada de otra función y un tercero de la función.

$$\int u dv$$

Una buena regla a seguir sería intentar u sustitución primero y luego si no reformular su función en la forma correcta, integración por las piezas.

Answer 3

Si la integral es simple, usted puede hacer una simple tendencia de comportamiento: si usted tiene la composición de funciones, u-sustitución puede ser una buena idea; si usted tiene productos de las funciones que usted sabe cómo integrar, usted puede tratar de integración por partes.

Pero más difícil integrales no tienen inmediata ideas. Tal vez debería usar ambos. Normalmente empiezo con el método de sustitución para que yo pueda obtener un bien conocer la función y, a continuación, use integración por partes.

A veces ninguna de estas técnicas le ayudarán. Probablemente necesitarás algo de álgebra, la simplificación o la hechicería con la integral antes de empezar a tratar de integrarlo.

Algunas integrales definidas no tienen manera de resolver otros de integración por partes, por la búsqueda de la misma integral en ambos lados de la ecuación. Estos casos son realmente morir-duro de problemas si usted no vayas por ese camino.