En la sección 2.Una.2 de Quantum Ising Fases de Transición y en Transversal Ising Modelos de Suzuki, et. al. los autores dan las siguientes en su derivación de la Bogoliubov transformación para un Hamiltoniano
H=∑ijc†iAijcj+12∑ijc†iBijc†jH=∑ijc†iAijcj+12∑ijc†iBijc†j
con AA Hermitian y BB antisimétrica, y cici Fermionic operadores.
Uno hace una transformación lineal de la forma
ηq=∑i(gqici+hqic†i)ηq=∑i(gqici+hqic†i)
η\dagaq=∑i(gqic\dagai+hqici)η\dagaq=∑i(gqic\dagai+hqici)
donde gqigqi hqihqi puede ser elegido para ser real. Para ηqηq a satisfacer fermionic anti-relaciones de conmutación nosotros requieren
∑i(gqigq′i+hqihq′i)=δqq′ ∑i(gqihq′i−gq′ihqi)=δqq′
Mis preguntas son las siguientes:
Ya veo por qué, si B=0, A ser un Hermitian matriz asegura que H es un Hermitian operador. Pero, no veo cómo este Hamiltoniano es Hermitian para distinto de cero B.
No veo cómo la segunda ecuación ∑i(gqihq′i−gq′ihqi)=δqq′ follows. I can see that if comes from [ηq,ηq′]+=0
Pero, cuando hago el cálculo de [ηq,ηq′]+ llego:
[ηq,ηq′]+=[∑i(gqici+hqic†i),∑j(gq′jcj+hq′jc†j)]+=∑ijgqigq′j[ci,cj]++gqihq′j[ci,c†j]+hqigq′j[c†i,cj]++hqihq′j[c†i,c†j]+
Luego, utilizando, que [ci,cj]+=[c†i,c†j,]+=0[ci,c†j]+=[c†i,cj]+=δijI, obtenemos
∑i(gqihq′i+gq′ihqi)=δqq′
que esté en conflicto con la ecuación anterior. Pude ver la ecuación anterior siguiente si hemos tenido relaciones de conmutación, pero estamos hablando específicamente Fermionic operadores. A donde voy mal? Es el libro accidentalmente haciendo el Bosonic caso?
