Hamiltoniano fermiónico: preguntas sobre la transformación de Bogoliubov y Hermiticidad

Question

En la sección 2.Una.2 de Quantum Ising Fases de Transición y en Transversal Ising Modelos de Suzuki, et. al. los autores dan las siguientes en su derivación de la Bogoliubov transformación para un Hamiltoniano

$H = \sum_{ij} c_i^\dagger A_{ij} c_j +\frac{1}{2} \sum_{ij}c_i^\dagger B_{ij}c_j^\dagger$

con $A$ Hermitian y $B$ antisimétrica, y $c_i$ Fermionic operadores.

Uno hace una transformación lineal de la forma

$$\eta_q = \sum_i \left( g_{qi}c_i+h_{qi}c_i^\dagger \right)$$

$$ \eta_q^\daga = \sum_i \left( g_{qi}c_i^\daga + h_{qi}c_i \right)$$

donde $g_{qi}$ $h_{qi}$ puede ser elegido para ser real. Para $\eta_q$ a satisfacer fermionic anti-relaciones de conmutación nosotros requieren

$$ \sum_i \left( g_{qi}g_{q'i} + h_{qi}h_{q'i} \right) = \delta_{qq'}$$ $$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} - g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$

Mis preguntas son las siguientes:

1. Ya veo por qué, si $B =0$, $A$ ser un Hermitian matriz asegura que $H$ es un Hermitian operador. Pero, no veo cómo este Hamiltoniano es Hermitian para distinto de cero $B$.

2. No veo cómo la segunda ecuación $$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} - g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$ follows. I can see that if comes from $[ \eta_q, \eta_{q'}]_+ = 0$

Pero, cuando hago el cálculo de $[ \eta_q, \eta_{q'}]_+$ llego:

$$\begin{align} [ \eta_q, \eta_{q'}]+ &= [\sum_i \left( g_{qi}c_i+h_{qi}c_i^\dagger \right), \sum_j \left( g_{q'j}c_j+h_{q'j}c_j^\dagger \right) ]_+ \\ &= \sum_{ij} g_{qi}g_{q'j} [c_i,c_j]_+ + g_{qi}h_{q'j} [c_i,c_j^\dagger]_+ h_{qi}g_{q'j} [c_i^\dagger, c_j]_+ + h_{qi}h_{q'j} [c_i^\dagger,c_j^\dagger]_+ \end{align}$$

Luego, utilizando, que $[c_i,c_j]_+ = [c_i^\dagger,c_j^\dagger,]_+ = 0$$[c_i,c_j^\dagger]_+ = [c_i^\dagger, c_j]_+ = \delta_{ij}I$, obtenemos

$$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} + g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$

que esté en conflicto con la ecuación anterior. Pude ver la ecuación anterior siguiente si hemos tenido relaciones de conmutación, pero estamos hablando específicamente Fermionic operadores. A donde voy mal? Es el libro accidentalmente haciendo el Bosonic caso?

Answer 1

He encontrado las respuestas que estaba buscando. Responder a mis preguntas en orden tenemos:

1. El Hamiltoniano no es Hermitian como escrito. Omití las $h.c.$ al final, porque yo no sabía lo que significaba y supuse que era irrelevante. Resulta que fue muy relevante, puesto que significaba "Hermtian conjugado," lo que significa que tenemos que añadir en el Hermitian conjugado de lo escrito. Haciendo esto hace que el Hamiltoniano Hermitian.

2. Mi cálculo es correcto. El resultado en el libro trata de este papel . El documento da a mi resultado, que es en realidad el resultado en el resto de la derivación.

Si usted está usando este libro, tenga en cuenta que - al menos en esta sección hay numerosos errores tipográficos. Por debajo de esta derivación escriben los autores $$ [ \eta_q, H]_+ - \omega_q \eta_q =0$$

cuando quieren decir $$ [ \eta_q, H] - \omega_q \eta_q =0$$

y más adelante se refieren a una ecuación cuando quieren decir otra. Ser conscientes.