expectativa condicional de una solución para el SDE

Question

Supongamos que tenemos un SDE, que es el proceso de Wiener con deriva

$dr_t=c dt+\sigma dB_t$, donde$B_t$ es browniano

Yo quiero encontrar $\mathbb{E}[e^{-\int_0^t r_s ds} |r_t=r]$

entonces mi enfoque es este: escriba el SDE como:$r_t-r_0=ct+\int\sigma dB_t$

Entonces sé que$r_t$ se distribuye como una normal. pero ¿cómo puedo obtener la distribución de$\int_0^t r_s ds$ y, por lo tanto, la expectativa?

Gracias

Answer 1

Desde $r_t$ es el proceso de Wiener con la deriva. Asumiendo su condición inicial es $r_0 = 0$, acondicionado en $r_t = r$ es equivalente a considerar el puente Browniano.

Deje $u_t$ ser el puente Browniano proceso de con $u_0 = 0$, e $\lim_{s \to t+0^-} u_s = r$. A continuación,$u_s = r \frac{s}{t} + \left(1-\frac{s}{t}\right) W_{0,\sigma}\left( \frac{s}{t-s} \right)$$\mathrm{d} u_s = \left( \frac{r-u_s}{t-s} \right)\mathrm{d} s + \frac{\sigma}{\sqrt{t}} \mathrm{d} W_s$.

Variable $w_s = \int_0^s u_\tau \mathrm{d} \tau$ es un proceso Gaussiano como un funcional lineal de la puente Browniano, que es Gaussiano. Por lo tanto para determinar su distribución, es suficiente para calcular los momentos. $$ \mathbb{E}\left( \exp(-w_t) \right) = \exp\left( - \mathbb{E}(w_t)+ \frac{1}{2} \operatorname{Var}(w_t) \right) $$

El proceso de $w_s$ Ito, con SDE $\mathrm{d} w_s = u_s \mathrm{d} s$. Para encontrar los momentos utilizamos Ito lema con $\mathrm{d}X_t = \mu_t \mathrm{d} t + \sigma_t \mathrm{d} B_t$: $$ \mathbb{E}( f(X_t)) = \mathbb{E}( f(X_0)) + \int_0^t \mathbb{E}\left( \mu_s f^\prime(X_s) + \frac{1}{2} \sigma_s^2 f^{\prime\prime}(X_s) \right) \mathrm{d} s $$

Aplicando esto a los polinomios de $u_s$$w_s$: $$ \begin{eqnarray} m_1^\prime(u_s) &=& \frac{r - m_1(u_s)}{t-s} \land m_1(u_0) = 0 \\ m_2^\prime(u_s) &=& 2 \frac{r m_1(u_s) - m_2(u_s)}{t-s} + 2 \frac{\sigma^2}{2t} \land m_2(u_0) = 0 \end{eqnarray} $$ La solución de este da $m_1(u_s) = \frac{r s}{t}$$m_2(u_s) = r^2 \frac{s^2}{t^2} + \sigma^2 \frac{s}{t} \frac{t-s}{t}$.

De forma similar: $$ \begin{eqnarray} m_1^\prime(w_s) &=& m_1(u_s) \land m_1(w_0) = 0 \\ m_{11}^\prime(u_s w_s) &=& m_2(u_s) + \frac{r m_1(w_s) - m_{11}(u_s w_s)}{t-s} \land m_{11}(u_0 w_0) = 0 \\ m_2^\prime(w_s) &=& 2 m_{11}(u_s w_s) \land m_2(w_0) = 0 \end{eqnarray} $$ La resolución de estas producciones: $$ m_1(w_s) = \frac{r}{2} \frac{s^2}{t^2} \qquad m_{11}(u_s w_s) = \frac{s^2 \left(r^2 s-s \sigma ^2+\sigma ^2 t\right)}{2 t^2} \qquad m_2(w_s) = \frac{s^3 \left(3 r^2 s-3 s \sigma ^2+4 \sigma ^2 t\right)}{12 t^2} $$ La combinación de momentos da $$ \mathbb{E}(w_t) = \frac{r}{2} \qquad \operatorname{Var}(w_t) = \frac{\sigma^2 t^2}{12} $$

Answer 2

Esto no es muy difícil una vez que te hayas dado cuenta de que:

-$(X,Y)=(r_t, \int_0^t r_s.ds)$ es un vector gaussiano
-la distribución de$(X,Y)$ condicnally a$X=x$ es bien conocida

No voy más lejos, ya que es un buen ejercicio hacer los cálculos una vez.

Atentamente