La prueba de $\arctan(x) = \arcsin(x/\sqrt{1+x^2})$

Question

He intentado siguiendo este camino, pero no he tenido éxito.

Gracias!

Answer 1

Considerar el ángulo recto del triángulo con lados de $1,x,\sqrt{1+x^2}$

Deje $\phi$ ser el ángulo opuesto al lado de la longitud de la $x$.

Nos encontramos con que: $$\phi=\arcsin(x/\sqrt{1+x^2})$$ $$\phi=\arctan(x/1)$$

Por lo tanto: $$\arcsin(x/\sqrt{1+x^2})=\arctan(x)$$

Answer 2

Calcular la derivada de ambos lados:

$$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$

$$\left(\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'=\frac{\sqrt{1+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}}=$$

$$=\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt 1}=\frac{1}{1+x^2}$$

Ya que ambos son derivados de la igualdad de las funciones de la misma hasta la suma de una constante:

$$\arctan x=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\,\,\,,\,\,C=\,\text{a constant}$$

Finalmente, para encontrar lo $\,C\,$ se puede, por ejemplo, la entrada de $\,x=0\,$ en la de arriba...

Answer 3

Tan pronto como usted ve $\arctan x$, dibuje un triángulo rectángulo en el que el lado "opuesto" tiene una longitud de $x$ y el "adyacentes" lado tiene una longitud de $1$. Entonces el ángulo a que esos son "opuestos" y "adyacentes" es $\arctan x$.

El teorema de Pitágoras, a continuación, indica la longitud de la hipotenusa.

Que le da el seno del ángulo, desde $\sin=\dfrac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}$.

Que le dice lo que el ángulo en cuestión es el arcoseno de.

Answer 4

Deje $\arctan x=y\Leftrightarrow x=\tan y$. A continuación, $$\sin^2 y+\cos^2 y=1\Leftrightarrow \tan^2 y+1=\frac{1}{\cos^2 y}\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+1}=1-\sin^2 y\Leftrightarrow \sin^2 y=\frac{x^2}{x^2+1}$$ y por lo $$\sin y= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Rightarrow \arctan x=y=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

Answer 5

poner $$x=\tan(\theta)$$ Now rewrite the formula in $\theta$ instead of $x$. Todo lo que usted necesita, realmente, son estos: $$\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$$ $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$ debería ser más explícito?