¿La identidad para todas las funciones uniformes bdd se deduce "por el análisis básico de la (transformada) de Fourier"?

Question

Encontré una identidad interesante en un artículo de papel que estoy leyendo (página $9$ ). La declaración es la siguiente: $\mathcal F$ es la transformada de Fourier, $P$ la ley de una variable aleatoria $X$ y $\varphi$ es la función característica de $X$ $$ \int_{\mathbb R}f\ast\mathcal F^{-1}[\frac 1{\varphi}(-\bullet)](x)P(dx)=f(0) $$ para cualquier función uniformemente acotada $f$ . La declaración debe seguir por el análisis básico de Fourier, sospecho que tal vez algún tipo de Plancherel . De alguna manera, creo que deberíamos utilizar (la transformación se define así para ser idéntica a la función característica) $$ \mathcal F[P]=\varphi $$ para que las funciones características se anulen. Sin embargo, hasta ahora no he podido hacerlo funcionar. Como se supone que se cumple para todas las funciones uniformemente acotadas también podría estar involucrada una medida de punto de Dirac, no estoy seguro.

¿Alguien tiene una idea?

Un intento (más bien heurístico), no puedo justificar cada paso:

Ya que tenemos $\mathcal F[P]=\varphi$ tenemos $P=\mathcal F^{-1}\varphi$ por lo que escribimos $$ \int_{\mathbb R}f\ast\mathcal F^{-1}[\frac 1{\varphi}(-\bullet)](x)P(dx)=\int_{\mathbb R}f\ast\mathcal F^{-1}[\frac 1{\varphi}(-\bullet)](x)\mathcal F^{-1}[\varphi](dx) $$ aplicamos ahora Plancherel (el signo desaparece debido a la conjugación compleja) $$ \int_{\mathbb R}f\ast\mathcal F^{-1}[\frac 1{\varphi}(-\bullet)](x)\mathcal F^{-1}[\varphi](dx)=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\mathcal F[f](u)\frac1{\varphi}(u)\varphi(u)du=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\mathcal F[f](u)du $$ Ahora esto se traslada a $$ \frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\mathcal F[f](u)du=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\Big(\int_{\mathbb R}e^{iux}f(x)dx\Big)du $$ que se convierte en usar Fubini (o cualquier cosa que nos permita intercambiar el orden de integración) y $\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{iux}du=\delta(x)$ $$ \int_{\mathbb R}\Big(\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{iux}du\Big )f(x))dx=\int_{\mathbb R}\delta(x)f(x)dx=f(0) $$

Answer 1

Reformulación con el vocabulario de las distribuciones (cómo se define $\mathcal{F}^ {-1}[\frac{1}{\varphi}]$ sin las distribuciones)

• Si $T,S$ son dos distribuciones tales que $\mathcal{F}[T] \mathcal{F}[S]$ es una distribución templada entonces podemos definir $T \ast S$ como la distribución templada $\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[T] \mathcal{F}[S]]$ .

• Si todo está bien definido en el sentido de las distribuciones, entonces $\langle f \ast g, h \rangle = \langle f , g \ast h\rangle$

• Si $f \in C^\infty_c$ y como $P(dx) = P'(x)dx$ para que $\varphi = \mathcal{F}[P']$ entonces

$$f(0) =\langle f, \delta \rangle= \langle f, \mathcal{F}^{-1}[1]\rangle=\langle f, \mathcal{F}^{-1}[\frac{\mathcal{F}[P']}{\varphi}]\rangle = \langle f , P'\ast \mathcal{F}[\frac{1}{\varphi}]\rangle= \langle f \ast \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{\varphi}], P'\rangle\\ = \int_{-\infty}^\infty f \ast \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{\varphi}] P(dx)$$

Claramente $f \ast \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{\varphi}]$ tiene pocas posibilidades de estar bien definido si $f \not \in C^\infty_c$ por lo que su afirmación no es correcta tal cual.

Answer 2

No creo que se pueda aplicar el teorema de Plancheral a las funciones, por lo que parece que la primera igualdad no se comprueba realmente ya que al escribir $P(x) = \mathcal{F}^{-1}(dx)$ entonces la aplicación de Plancheral's no se comprueba realmente... pero parece que tienes la idea correcta (que es más de lo que puedo decir de mí mismo al no encontrar ni siquiera la idea correcta).

Sin embargo, tiene que la segunda ecuación es verdadera, ya que podemos aplicar (1) en la demostración del teorema 1 en http://math.mit.edu/~jerison/103/handouts/fourierint2.13.pdf que dice que si $f$ es una función de Schwartz y $\mu$ es una medida finita, entonces $$\int \hat{f}(x)d\mu(x) = \int f(x) \hat\mu(x) dx,$$ que es básicamente lo que estás haciendo... No sé si el teorema sigue siendo cierto en el caso general que estás viendo.

La última ecuación $$\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\mathcal{F}f(\xi)d\xi = f(0)$$ ya que en secreto es sólo la fórmula de inversión de Fourier: $$\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\mathcal{F}f(\xi)e^{0\xi}d\xi = \mathcal {F}^{-1}\circ \mathcal{F}f(0),$$ por lo que tienes la función delta de dirac, ya que la gente a veces (¿intenta?) justificar el teorema con deltas de dirac.