Hola a todos tengo problemas con la siguiente proposición:
Definición: decimos que un espacio métrico $(X,d)$ es Un espacio iff cada Hausdorff imagen de $X$ bajo continuo cerrado mapa es metrizable.
Reclamo: $X$ es Un espacio iff la frontera de cualquier conjunto cerrado en $X$ es compacto.
(*) Suponiendo que la Hanai-Morita teorema: Vamos a $f:X \to Y$ cerrada, continua, en e $X$ métrica. A continuación, los siguientes son lógicamente equivalentes
- $Y$ es la métrica
- $Y$ es la primera contables
- para todos $p\in Y$, $\operatorname{fr}(f^{-1}(p))$ es compacto
Por un lado es bastante fácil, ya que el rango es un espacio de Hausdorff, en particular, los puntos son cerrados, a continuación, $f^{-1}(p)$ es cerrado en $X$, pero por el otro tengo serios problemas.
Supongamos $F$ es un conjunto cerrado en $X$ $X$ es Un espacio, a continuación, por el Hanai-Morita teorema sabemos que para cualquier mapa satisfactorio (*) tenemos $\forall p\in Y$ la frontera de la preimagen de $p$ es un compacto. Supongamos que al contrario que $\operatorname{fr} (F)$ no es compacto en $X$, entonces no es una secuencia $\{x_n: n\in {\bf {N}}\}\subset \operatorname{fr}(F)$ tener ningún clúster puntos en la frontera de la $F$...
Yo estaba tratando de repetir la prueba de la Morita del teorema pero no puedo
Realmente agradezco cualquier ayuda.
