En cada libro de texto sobre el caos, hay una gran cantidad de simulaciones numéricas. Un ejemplo típico es la sección de Poincaré.
Pero, ¿por qué es la simulación numérica todavía más significativa si el sistema es muy sensible a errores numéricos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dr. Ikjyot Singh Kohli
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525
Simulaciones numéricas no son siempre significativos, como la teoría del caos pertenece a la gran tema de la dinámica de la teoría de sistemas. Aunque las definiciones difieren, el caos se produce generalmente en tres contextos:
- Sensible a la dependencia de las condiciones iniciales (SDIC).
- El conjunto es topológicamente transitivo.
- Periódico puntos son densos en el conjunto.
Creo que de dos partículas que tienen cierta trayectoria. Su movimiento será caótico si con alguna pequeña perturbación en su posición de hacer las trayectorias divergen. Su pregunta es acerca de los errores numéricos, que está relacionado con los criterios 1 anterior. Es decir, SDIC implica que una función de $f$ ha SDIC si existe alguna $\delta > 0$, de tal manera que $|f^{n}(x) - f^{n}(y)| > \delta$. Resulta que $\delta$ en realidad no es tan pequeña que la mayoría de los buenos solucionadores de problemas numéricos no puede manejar las simulaciones numéricas. Desde la teoría del caos se produce en la mayoría de los sistemas dinámicos que son normalmente junto autónoma de ecuaciones diferenciales ordinarias, existe una amplia variedad de solucionadores de que son capaces de manejar este problema bastante bien, tales como el método de Runge-Kutta solucionadores de problemas que tienen un muy pequeño error numérico asociado con ellos.
Como he dicho anteriormente, que está relacionada con la segunda parte de su pregunta, simulaciones numéricas no siempre son necesarias, la mayoría de los libros de texto uso de ellos para fines de demostración para que los estudiantes interesados en los sistemas dinámicos. Por ejemplo, usted generalmente puede mostrar un sistema dinámico para la exhibición de movimiento caótico si la geometría subyacente de la geodesics negativos en la curvatura de Ricci. Esto es para sistemas Hamiltonianos sólo, pero siempre se puede extender un no-Hamilton a un sistema Hamiltoniano del sistema mediante la ampliación del espacio de fase. También se puede obtener una gran riqueza de información acerca de un sistema y si se exhibe el caos mediante el cálculo del alfa y la omega-límite de conjuntos, encontrar el futuro y pasado de los chicos, a través de Lyapunov, Chetaev, funciones, y la aplicación de la LaSalle principio de invariancia. Si desea leer más sobre este tema, el libro Hirsch, Smale, y Devaney es muy buena.
Wrzlprmft
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423
Tres puntos de vista diferentes sobre esencialmente la misma cosa:
Sistemas caóticos no son sólo sensibles a errores numéricos, sino también a otras pequeñas perturbaciones, tales como la dinámica de ruido, que puede simular las condiciones reales.
A pesar de que pequeñas perturbaciones que afectan a la detallada, microscópicas futuro de un sistema, su cualitativo de la dinámica no se ve afectada. Y esto último es lo que queremos investigar, si se simula un sistema caótico.
El efecto mariposa solo es un problema, si desea predecir con precisión el futuro de un sistema. Pero esto es algo que no podemos hacer de todos modos en la realidad, debido, también, la realidad de ser ruidoso.
Jpath
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11
Es una pregunta válida la pregunta de si la simulación por ordenador de un sistema dinámico es representante de la dinámica del comportamiento del sistema real, o simplemente el artefacto de errores de redondeo causado debido a la necesidad de precisión finita de un equipo real.
Hay un resultado crucial con respecto a esta situación se llama el seguimiento teorema [1]. Se establece que
Aunque numéricamente calculada caótico trayectoria se desvía de manera exponencial a partir de la verdadera trayectoria con la misma inicial de coordenadas, existe un errorless trayectoria con algo un poco diferente condición inicial que se mantiene cerca ("sombras") la calculada numéricamente uno.
Así que cuando yo recorrer en un caótico sistema dinámico a partir de una condición inicial P, la trayectoria que el equipo muestra puede no ser representativa de la posición real del sistema dinámico debido a los errores de redondeo. Sin embargo, lo que existe una condición inicial P, tal que la trayectoria real a partir de Q va a permanecer cerca de mi generada por ordenador en la trayectoria de la P.
Esto me dice que si mi simulación por ordenador me muestra una estructura fractal de las curvas, esta estructura realmente es mostrado por el real sistema dinámico en el que existen trayectorias que la sombra de las trayectorias mostradas por mi equipo.
[1] (1993) Ott, E. Caos en Sistemas Dinámicos, Cambridge University Press, páginas 18-19.
