Preliminares. Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert. Consideremos el operador bilineal $$ \bigcirc: H\times H^{cc}\to\mathcal{F}(H):(x,y)\mapsto (z\mapsto \langle z,y\rangle x) $$ donde $H^{cc}$ es un espacio de Hilbert complejo conjugado y $\mathcal{F}(H)$ es un espacio normado de todos los operadores de rango finito con norma de operador. Se puede comprobar que $\bigcirc$ es un operador bilineal acotado de norma uno y su imagen son todos los operadores de rango uno. Para un determinado $x,y\in H$ esto es sencillo para comprobar que $$ A(x\bigcirc y)B=A(x)\bigcirc B^*(y)\tag{1} $$
Lema Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $(T_n:n\in\mathbb{N})\subset\mathcal{B}(H)$ converge fuertemente a $T\in\mathcal{B}(H)$ . Entonces, $(T_n:n\in\mathbb{N})$ está acotado por la norma en $\mathcal{B}(H)$ por alguna constante $c_T$ .
Prueba. Desde $(T_n:n\in\mathbb{N})$ converge fuertemente a $T$ , entonces para todos los $x\in X$ la secuencia $(T_n(x):n\in\mathbb{N})$ está acotado por la norma en $H$ . Por el teorema de Banach-Steinhaus la secuencia $(T_n:n\in\mathbb{N})$ está acotado por la norma en $\mathcal{B}(H)$ por alguna constante $c_T>0$
Lema. Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert $A\in\mathcal{K}(H)$ y $(T_n:n\in\mathbb{N})\subset\mathcal{B}(H)$ converge fuertemente a $T\in\mathcal{B}(H)$ , $(S_n:n\in\mathbb{N})\subset\mathcal{B}(H)$ converge fuertemente a $S\in\mathcal{B}(H)$ entonces $(T_nAS_n^*:n\in\mathbb{N})$ converge a $TAS^*$ en la topología de la norma de $\mathcal{B}(H)$ .
Prueba. Dejemos que $x,y\in H$ . Desde $(T_n:n\in\mathbb{N})$ y $(S_n:n\in\mathbb{N})$ converge a $T$ y $S$ respectivamente en la topología del operador fuerte, entonces $(T_n(x):n\in\mathbb{N})$ y $(S_n(y):n\in\mathbb{N})$ convergen a $T(x)$ y $S(y)$ respectivamente en la topología normativa de $H$ . Por propiedades del operador bilineal $\bigcirc$ concluimos que $(T_n(x)\bigcirc S_n(y):n\in\mathbb{N})$ converge a $T(x)\bigcirc S(y)$ en la topología de la norma de $\mathcal{B}(H)$ . Por lo tanto, desde $(1)$ conseguimos que $$ \lim\limits_{n\to\infty} T_n(x\bigcirc y) S_n^*=T(x\bigcirc y)S^*\tag{2} $$ en la topología de la norma de $\mathcal{B}(H)$ . Ahora tome un número arbitrario de $F\in\mathcal{F}(H)$ . Como todo operador de rango finito es una suma de operadores de rango uno, entonces existe $(x_1,\ldots,x_k)\subset H$ y $(y_1,\ldots,y_k)\subset H$ tal que $F=\sum_{i=1}^k x_k\bigcirc y_k$ . Así que usando $(2)$ obtenemos $$ \lim\limits_{n\to\infty} T_nF S_n^* =\sum_{i=1}^k\lim\limits_{n\to\infty} T_n(x_k\bigcirc y_k) S_n^* =\sum_{i=1}^k T(x_k\bigcirc y_k)S^* =TFS^*\tag{3} $$ en la topología de la norma de $\mathcal{B}(H)$ .
Por último, consideremos el operador compacto $A\in\mathcal{K}(H)$ . Desde $H$ es un espacio de Hilbert, entonces $A$ es el límite de los operadores de rango finito en la topología normativa de $\mathcal{B}(H)$ . Arreglar $\varepsilon>0$ . De la nota anterior tenemos que existe $F\in\mathcal{F}(H)$ y $D\in\mathcal{K}(H)$ tal que $A=F+D$ y $\Vert D\Vert<\varepsilon$ . Entonces utilizando el lema anterior obtenemos $$ \Vert T_n DS_n^*-TDS^*\Vert \leq\Vert T_n DS_n^*\Vert+\Vert TDS^*\Vert \leq\Vert T_n\Vert \Vert D\Vert \Vert S_n^*\Vert+\Vert T\Vert\Vert D\Vert \Vert S^*\Vert \leq c_Tc_S \varepsilon +\Vert T\Vert\Vert S\Vert \varepsilon $$ $$ 0\leq\Vert T_n AS_n^*-T AS^*\Vert \leq \Vert T_n FS_n^*-T FS^*\Vert+\Vert T_n DS_n^*-T DS^*\Vert\\ \leq \Vert T_n FS_n^*-T FS^*\Vert+(c_Tc_S + \Vert T\Vert\Vert S\Vert)\varepsilon $$
Ahora tomamos $\limsup$ cuando $n\to\infty$ y utilizar $(3)$ para conseguir $$ 0\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\Vert T_n AS_n^*-T AS^*\Vert \leq \limsup\limits_{n\to\infty}\Vert T_n FS_n^*-T FS^*\Vert+(c_Tc_S + \Vert T\Vert\Vert S\Vert)\varepsilon\\ \leq \lim\limits_{n\to\infty}\Vert T_n FS_n^*-T FS^*\Vert+(c_Tc_S + \Vert T\Vert\Vert S\Vert)\varepsilon \leq (c_Tc_S + \Vert T\Vert\Vert S\Vert)\varepsilon $$ Desde $\varepsilon>0$ es arbitraria de las desigualdades anteriores concluimos que $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert T_n AS_n^*-T AS^*\Vert$ existe y es igual a $0$ . Por lo tanto, demostramos que $$ \lim\limits_{n\to\infty} T_n AS_n^*=T AS^* $$ en la topología de la norma de $\mathcal{B}(H)$ .
Propuesta Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $P\in\mathcal{K}(H)$ . Supongamos que $\gamma:[0,1]\to\mathcal{B}(H):t\mapsto v_tpv_t^*$ es un camino continuo en topología de operador fuerte, entonces es continuo en topología de norma.
Prueba Desde $[0,1]$ es un espacio topológico de primer recuento basta con demostrar la continuidad secuencial. Para una secuencia dada $(t_n:n\in\mathbb{N})\subset[0,1]$ convrente a $t\in[0,1]$ definir $S_n=T_n=v_{t_n}$ y aplicar el lema anterior para obtener que $v_{t_n}Pv_{t_n}^*$ converge a $v_tPv_t^*$ en la norma. Por lo tanto, $\gamma$ es el camino continuo de la norma.
