La comprobación de si una "especial" tipo de bloque de la matriz Hurwitz

Question

Tengo el siguiente bloque de la matriz

$$ J = \begin{bmatrix}A & B \\ K &0\end{bmatrix} $$ todas las matrices son cuadradas, donde $A < 0$ (definida negativa), $B$ tiene todos sus autovalores con parte real positiva de ser $A = - (B + B^T)$, e $K$ es una matriz diagonal.

Lo que yo veo, a partir de la simulación numérica, es que si $$K < 0 \iff J \text{ is Hurwitz}$$.

Alguna pista acerca de cómo puedo demostrarlo?

Otra pregunta, he visto muchas veces que

$$ M = \begin{bmatrix}A & B \\ -B^T &0\end{bmatrix} $$

es Hurwitz si $A < 0$, pero no puedo encontrar la prueba. Supongo que es realmente relativa a la primera cuestión.

Muchas gracias de antemano.

Editar

Más ideas en relación con la segunda pregunta. $M$ es Hurwitz y su polinomio característico es el detonante$(\lambda^2I - A\lambda + BB^T)=0$. El cp de J es det$(\lambda^2I + (B + B^T)\lambda - BK) = 0$. Mirando a los dos cps, $-A > 0$$B+B^T > 0$, e $BB^T > 0$ $-BK$ tiene sus Valores propios con parte real positiva $\iff BK + K^TB^T < 0$.

Es este hecho con el ser Hurwitz ? Quiero decir, el bloque de la matriz es Hurwitz si su cp det$(\lambda^2I + V\lambda + W)=0$$V > 0$$W > 0$ ?

Edit 2

Muchas gracias por su respuesta en Respuesta1. Tienes razón, y también he encontrado varios contraejemplos a esta conjetura.

Sin embargo, el cambio de la condición (que se ha equivocado con un contador de ejemplo) no he encontrado un contraejemplo (todavía). Deje $K = -cI$, $c>0$ ser un escalar. En otras palabras, $$BK + K^TB^T < 0 \iff J \text{ is Hurwitz}$$.

Finalmente, he encontrado un contraejemplo (tercer comentario a la respuesta 1). Así que esta conjetura está mal.

Sin embargo, parece que para $c$ suficientemente pequeño, $J$ es Hurwitz, ahora tengo que encontrar la condición en la $c$ para que. Las pistas o sugerencias?

Edición 3

Finalmente, se ha encontrado con contraejemplos, que la última conjetura es falsa también.

Entonces, la única manera (que yo sepa) que tengo para la evaluación de la estabilidad de $J$ es la comprobación de la siguiente lineal de la matriz de la desigualdad.

$$ J \quad\text{es Hurwitz si} \quad \existe K \quad \text{s.t.} \quad J+J^T \prec 0 $$

Answer 1

Supongo que por una matriz de Hurwitz, la media de una matriz estable, es decir, una matriz tal que todos sus valores propios tienen partes reales negativas. Por favor me corrija si estoy equivocado.

Hice algunos experimentos numéricos demasiado, pero se encontró con que su conjetura es malo. Aquí es un contraejemplo: $$ J=\begin{pmatrix} -1.4268 & -0.6777 & 0.7134 & 0.4497\\ -0.6777 & -0.3444 & 0.2280 & 0.1722\\ -3.7490 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -8.6780 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ Usted puede verificar que los valores propios de a$A$$-1.7529$$-0.0183$, los autovalores de a$B$$0.8620$$0.0236$, y los valores propios de a$J$$-0.9401\pm1.8348i$$\color{red}{0.0545\pm0.3906i}$.

En cuanto a la estabilidad de $$M = \begin{bmatrix}A & B \\ -B^T &0\end{bmatrix}$$ por la negativa definitiva de $A$, supongo que el $A$ $B$ aquí son reales matrices. La prueba es fácil. Supongamos $v^T=(x^T,y^T)$ es una unidad autovector de a $M$ correspondiente al autovalor $\lambda$. Entonces \begin{align} \lambda = v^\ast Mv &=(x^\ast,y^\ast)\begin{bmatrix}A & B \\ -B^T &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\\ y=x^\ast Ax + x^\ast Por - y^\ast B^Tx\\ y=x^\ast Ax + x^\ast Por - (y^\ast B^Tx)^T\\ y=x^\ast Ax + x^\ast Por - x^T B\bar{y}\\ y=x^\ast Ax + x^\ast Por - \overline{x^\ast Por}\\ y=x^\ast Ax + 2\,\mathrm{Imag}(x^\ast). \end{align} Por lo tanto la parte real de la $\lambda$ está dado por $x^\ast Ax$, que es negativa, porque a $A$ es negativa definida.

Edit: En la modificación de la pregunta, usted pregunta si $J=\begin{bmatrix}A & B \\ -cI &0\end{bmatrix}$ es siempre estable para suficientemente pequeño $c>0$, dado que el $A=-(B+B^T)$ es negativa definida. Después de algunos cálculos aproximados, la respuesta parece ser negativa. (OK, me equivoqué. Para el 2-por-2 caso, en realidad, $J$ es estable cuando se $c$ es pequeño.) Considere la posibilidad de $A=\mathrm{diag}(-2a,-2b)$$B=\begin{pmatrix}a&-w\\w&b\end{pmatrix}$$a,b>0$$w\in\mathbb{R}$. Se puede demostrar que $J$ es nonsingular y su ecuación característica está dada por $\det(x^2 I - xA + cB)=0$, o lo que es equivalente, $$f(x) := x^4 + 2(a+b)x^3 + (ca+cb+4ab)x^2 + 4cabx + c^2(ab+w^2) = 0.$$ Uno puede mostrar más que $f$ no tiene ningún puramente imaginaria de la raíz. Así, podemos emplear Routh–Hurwitz teorema (ver también aquí) para probar la estabilidad de $f$. He hecho algunos cálculos, pero están demasiado largo para caber aquí (uh, ... he empezado a sonar como la de Fermat). Parece que los resultados muestran que cuando se $w$ es grande y $c>0$ es pequeña, el índice de Cauchy es siempre cero (lo $J$ no es estable).

También he hecho algunos experimentos informáticos. Los resultados aparentemente apuntan a la misma conclusión. Por ejemplo, cuando se $B=\begin{bmatrix}1 & -320\\ 320&1\end{bmatrix}$, el resultado es $J$ siempre parece tener un valor propio con parte real no negativo al $0<c\le\frac12$.

Otro edit: puede que se me haya jodido algo, pero es demasiado tedioso para comprobar los cálculos.