Si $B$ es invertible, entonces existe un escalar $c$ tal que $A+cB$ no es invertible

Question

Deje $A,B$ $n\times n$ matrices complejas. Si $B$ es invertible, entonces existe un escalar $c \in \mathbb C$ tal que $A+cB$ no es invertible.

Desde $\det(A+cB)$ es un polinomio en a $\mathbb C$, debe tener una raíz en $\mathbb C$, es decir, debe existir una $c$ tal que $\det(A+cB)=0$. Entonces, ¿por qué la condición de "$B$ es invertible" es necesario?

Answer 1

Vamos a tomar el viaje completo. $B$ es inversible lo $B^{-1}$ existe y $\det{B}\neq 0$. Así que podemos reescribir

$$\det(A+cB)=\det(AB^{-1}+cI)\det{B}$$

Ahora el coeficiente de $c^n$ $\det(AB^{-1}+cI)$ $1$ por lo que el polinomio tiene grado $n\gt 1$, por lo que tiene una raíz en $\Bbb{C}$.

Ahora vamos a encontrar un contraejemplo. Considere la posibilidad de

$$ A=B=\begin{bmatrix} 0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}$$

Uno tiene

$$A+cB =\begin{bmatrix}0 & 0\\1+c & 0\end{bmatrix}$$

Answer 2

Sugerencia: Considere el polinomio $\varphi(z) = 1$$\mathbb C$. Tiene una raíz?

Answer 3

Una condición necesaria y suficiente para la existencia de $c$ es que: $A$ no es invertible; o $A$ es invertible y $BA^{-1}$ no es nilpotent. Esto responde a la pregunta, ya que si $B$ es invertible, entonces a $BA^{-1}$ es invertible, por lo tanto no puede ser nilpotent.

Si $A$ a no es invertible, elija $c = 0$. De lo contrario, $\det(A + cB) = 0$ si y sólo si $c \ne 0$$\det(c^{-1}I + BA^{-1}) = 0$. Esto es factible si y sólo si $BA^{-1}$ tiene un autovalor cero, que se produce precisamente cuando se $BA^{-1}$ no es nilpotent.

Pruebas alternativas. Suponga $B$ invertible. A continuación, $\det(A + cB) = 0$ si y sólo si $\det(AB^{-1} + cI) = 0$. Eso es suficiente para notar que debido a $\mathbf{C}$ es algebraicamente cerrado, la matriz $AB^{-1}$ tiene un autovalor.