Si $M$ es un modelo de $T$ deje $M_0$ $M_1$ denotar las dos partes definidas por $E$.
Supongamos que $A$ es un infinito Dedekind-conjunto finito. Si $A$ es amorfo, entonces no puede ser un modelo de $T$, para empezar porque no se puede dividir en dos conjuntos infinitos.
Supongamos que $A$ se puede dividir en $A_0$$A_1$. Si $|A_0|=|A_1|+\frak a$ $\frak a$ cero, luego de tomar cualquier $B\subseteq A_0$ tal que $0<|B|<\frak a$ define un no-modelo isomorfo por $A'_0=A_0\setminus B$$A'_1=A_1\cup B$. Para ver que esta partición no es isomorfo a la partición anterior tenga en cuenta que sólo podría suceder si $|A'_1|=|A_0|$ (porque lo vamos a quitar los puntos de $A_0$ y su cardinalidad es estrictamente menor ahora), pero esto significa que hay un bijection $f\colon A_0\to A_1\cup B$ lo cual es falso ya que los $|A_0|=|A_1|+|B|=|A_1|+\frak a$ y, por tanto,$|B|=\frak a$, en contradicción con la forma en que elegimos $B$.
Si $A$ se puede dividir en dos incomparable partes, cualquier intercambio de puntos de la mantendrá incomparable por un argumento similar.
Sin embargo es posible obtener categoricity en $\aleph_1$-amorfo cardenales. Es decir, los cardenales de conjuntos que no se puede dividir en dos disjuntas innumerables conjuntos.
Supongamos que $A$ $\aleph_1$- amorfo, y no tiene infinito Dedekind-subconjunto finito, entonces cualquier partición de $A$ en dos partes tendría que tener una parte de tamaño $\aleph_0$ y otra parte del tamaño de la $|A|$. Por lo tanto categoricity de la siguiente manera para cualquier $\aleph_1$-amorfo cardenal.
El examen de esta prueba demuestra que el $T$ es categórico en $\kappa$ si y sólo cuando $\kappa=\frak a+b$, entonces podemos garantizar que cualquiera de las $\frak a$ o $\frak b$$\aleph_0$, y el otro es Dedekind-infinito.
Esto sucede si y sólo si $A$ no se puede dividir en dos innumerables conjuntos, no tiene infinito Dedekind-subconjuntos finitos, y si $B\subseteq A$ es infinito, $|B|=|A|$ o $|B|=\aleph_0$.
