Demostrar la desigualdad de $ a^4+b^4 \leq 2 a^2 b^2 +1. $

Question

Deje $a,b$ ser tal que $|a|\leq 1$, $|b|\leq 1$. Demostrar que, a continuación, $$ a^4+b^4 \leq 2 a^2 b^2 +1. $$

Answer 1

Mirando a este, tengo un impulso incontrolable para completar el cuadrado. $$a^4 + b^4 \le^{\text{?}} 2a^2 b^2 + 1 $$ $$a^4 - 2a^2 b^2 + b^4 \le^{\text{?}} 1 $$ $$(a^2 - b^2)^2 \le^{\text{?}} 1 $$ Ahora es fácil. Si $|a|, |b| \le 1$, se deduce que el $0 \le a^2, b^2 \le 1$, y por lo $|a^2 - b^2| \le 1$$(a^2 - b^2)^2 \le 1$.