Son los siguientes conjuntos abiertos subconjuntos de a $\mathbb{R}$

Question

Necesito determinar si $[2,4]$ $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ son subconjuntos abiertos de $\Bbb R$.

Para $[2,4]$:

Sé que es un subconjunto de ser abierto, a continuación,$\forall x\in V$ $\exists (a,b)$ s.t. $x\in (a,b)\subseteq V$

Estoy pensando que no hay ningún intervalo abierto (a,b) para que $2\in (a,b) \subseteq V$

Estoy pensando acerca de este mal? Yo traté de preguntar a mi profesor, pero él me dijo que buscara en la práctica los problemas, pero no entiendo la práctica de problemas. Estoy teniendo problemas para determinar si un conjunto es abierto o no.

Answer 1

Te he respondido a la primera de ellas correctamente: $[2,4]$ no está abierto, porque no contiene un intervalo abierto alrededor de $2$. (Además, no contienen un intervalo abierto alrededor de $4$.) Usted puede pensar acerca de $\Bbb R\setminus\Bbb Q$, el conjunto de los números irracionales, de la misma manera. $\sqrt2\in\Bbb R\setminus\Bbb Q$ ; $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ contienen un intervalo abierto alrededor de $\sqrt2$? Para el caso, no $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ contener cualquier no-vacío intervalo abierto a todos?

Answer 2

Otra forma de probar la $\Bbb R - \Bbb Q$ no está abierto es lo siguiente: Vamos a $\Bbb I$ el conjunto de los números irracionales, y deje $A=\Bbb R - \Bbb Q$. Un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado. Desde $A^c=\Bbb R - \Bbb I$,$\overline{A^c}=\overline{\Bbb R - \Bbb I}=\Bbb R \neq A^c$, yo.e, $A^c$ no es igual a la de su cierre, lo que significa que $A^c$ no está cerrado, y por lo tanto, $A$ no está abierto.

Answer 3

Alternativas de respuesta: (sólo para la diversión!)

Un conjunto es abierto si su complemento es cerrado, y un conjunto es cerrado si contiene a todos sus límite de puntos.

El complemento de $[2,4] \subset \mathbb{R}$$(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$. Pero este conjunto no contiene toda su límite de puntos. Por ejemplo, contiene los elementos en la secuencia $1, 1.9, 1.99, 1.999, \ldots$ que converge a $2$, es decir, un elemento que no está en el conjunto.

El complemento de los racionales es la irrationals. De nuevo, este conjunto no contiene toda su límite de puntos. Por ejemplo, contiene los elementos en la secuencia $\sqrt{2}/1, \sqrt{2}/2, \sqrt{2}/3, \ldots$ que converge a $0$, es decir, un elemento que no es irracional.

Ni tu primer ni segundo conjunto tiene un circuito cerrado de complemento, por lo tanto ni tu primer ni segundo conjunto es abierto. QED