Cómo es diferente de la multiplicación?

Question

Hay una diferencia fundamental en las cosas que llamamos la multiplicación y los llamamos a la suma?

En un campo, tanto en operaciones binarias obedecer exactamente las mismas reglas (conmutatividad, asociatividad, elemento de identidad y elemento inverso [en realidad, este es el mismo para todos, pero de 1 elemento, a saber:$0$]). En un anillo, algunos de los multiplicativo de las reglas de un campo están relajados, pero me parece que podría fácilmente haberse relajado que el aditivo reglas.
Parece que incluso la distributiva ley también podría ser definida, de modo que además distribuye más de multiplicación (opuesto a la forma normal), y por lo tanto es sólo una propiedad distintiva -- cuando aún se aplica, porque hemos decidido que debería ser.

Aparte del hecho de que a menudo requerimos operaciones en cualquier conjunto de "números" estamos considerando, es que hay algunos de la propiedad de la suma que nunca compartida por la multiplicación (y viceversa), no importa que la generalización de cada uno de nosotros elegir? Es decir, podemos definir las condiciones necesarias y suficientes para una operación binaria a ser llamado "suma" o "multiplicación"?

Answer 1

La propiedad que distingue, además de la multiplicación es distributiva de la ley. Esto es parte de la convención de llamar a las operaciones de adición y multiplicación. Si la ley distributiva no estaba allí, que no nos llame a las operaciones por esos nombres.

El hecho de que la multiplicación distribuye sobre la suma admite $0\cdot a = 0 \;\forall a$ donde $0$ es la identidad aditiva. No hay tal analógica para la adición. Esta es una propiedad que se cae de la imposición de la ley distributiva.

Otra propiedad es que si cada elemento tiene un inverso aditivo, a continuación, la adición debe ser conmutativa. Observar la conmutatividad de la suma derivada de la ley distributiva y la existencia de inversos aditivos: $$\begin{align}(1+1)(a+b)\quad &= 1(a+b) + 1(a+b)\\ &= (1+1)a + (1+1)b\end{align}$$ $$a+b+a+b\quad =\quad a+a+b+b$$ $$b+a\quad=\quad a+b$$

Además de esto, la adición y la multiplicación de las operaciones sobre un conjunto $S$ son simplemente funciones: $$\begin{align} +&\;:\;S\times S \rightarrow S\\ \cdot\:&\;:\;S\times S \rightarrow S \end{align}$$

Estos pueden ser de cualquier correspondencia que elegir tan larga como la distributiva se cumple el derecho.

La conmutatividad de la multiplicación puede ser relajado, pero como se explicó, la conmutatividad de la adición es necesaria si cada elemento tiene un inverso aditivo.

Answer 2

Claude Shannon tesis de maestría, un importante aporte para el álgebra Booleana y la ingeniería eléctrica, se utiliza la notación de la adición y la multiplicación de las dos operaciones que ahora pensamos en como Y (multiplicación) y / O (suma), aplicado a los elementos 0 y 1. En este caso, no sólo la multiplicación de distribuir a través de la adición, $x(y+z)=xy+xz$, pero además también distribuye más de multiplicación, $x+yz=(x+y)(x+z)$. (Estos son de Shannon ecuaciones 3a y 3b.)

El álgebra booleana es completamente simétrica en las dos operaciones -- no importa lo que usted llame a la suma y la que más te llame la multiplicación.

El uso de los términos "adición" y "multiplicación" es como muchas de las cuestiones de notación: Autores utilizan lo que parece más natural para ellos, y mientras se define claramente, los lectores que lidiar con él.

Answer 3

A veces la multiplicación no es conmutativa (por ejemplo, la multiplicación de la matriz), pero es un tramo de llamar a algo, además si no es conmutativa.

Edit: por Debajo de mi comentario es que yo no creo ordinal además debe ser llamado, además, parece haber sido mal interpretado; mis disculpas por la confusión. Quiero decir ningún delito, y, en particular, no me refiero a implicar que el ordinal además no es interesante o no digno de estudio. Yo no creo que debería ser llamado, además, de la misma manera que no creo que el producto libre debe ser llamado un producto.

Uno básica intuitiva modelo para donde además es el que abstrae las propiedades de la subproducto en alguna categoría; por ejemplo, la adición de números naturales corresponde a la subproducto en $\text{FinSet}$ o incluso el subproducto en $\text{FinVect}$. Una característica distintiva de la subproducto es que trata a sus argumentos de forma simétrica, y es, en particular, conmutativa, pero eso es sólo una forma de establecer una más fundamental de la propiedad, que es el subproducto, como cualquier conmutativa y asociativa de la operación, toma como entrada un conjunto múltiple de operandos en lugar de una lista ordenada. Ordinal, además de, por supuesto, no tienen esta propiedad; en particular, no es el subproducto en la categoría de los números ordinales, y que trata a sus entradas de forma asimétrica.

No hay razón para creer que la categoría de la teoría tiene un lugar especial en su corazón para conmutativa y asociativa de las operaciones; véase, por ejemplo, esta entrada del blog. Creo que es valioso para el uso como aditivo en la notación y la terminología para referirse a este conjunto de ideas - por ejemplo, cuando se habla de categorías de aditivos y así sucesivamente - y que ordinales además realmente pertenece a un grupo diferente de las ideas, que no tiene un buen nombre, que yo sepa.

Answer 4

Es muy estándar para uso como aditivo en la notación sólo si la operación es conmutativa, mientras que la notación multiplicativa también puede denotar operaciones no conmutativas, como es norma en teoría de grupos. Multiplicación (digamos de un anillo, un álgebra) a menudo sucede en casos importantes a ser no conmutativa (bueno a menos que restringir a conmutativa anillos y álgebras de curso), por ejemplo, en la mecánica cuántica (canónica relaciones de conmutación) o el álgebra de Weyl. Nadie usa el aditivo notación para indicar operaciones no conmutativas, lo que parece sugerir que consideramos que además siempre ser conmutativa.

Answer 5

Todas contesta ser bueno, me gustaría dar otra perspectiva aquí.

La multiplicación es sólo "de orden superior"

Explicando:

suponga que inicialmente $a,b \in N$

$a \times b = a+a+..+a$ ($b$ veces)

o, equivalentemente,

$a \times b = b+b+..+b$ ($a$ veces)

Lo que en este sentido la multiplicación es una suma donde la suma se realiza (o el número de argumentos si te gusta) es variableen lugar de constante como $a+c$ (aquí, además de los argumentos se me constante.e $2$ $a$ y $c$)

A partir de ahí uno puede generalizar la nueva orden superior (i.e multiplicación) a otros campos de correo.g $R, C$ etc..

La ley distributiva es sólo una manera de combinar las operaciones cuando involucrados en la misma expresión. yo diría que otros distributiva leyes también son posibles precisamente por este orden superior de la conexión.

El argumento anterior es también claro cuando uno utiliza exponenciales o logaritmos para transformar entre adición o multiplicación (un tipo de operador dualidad si te gusta).

Este es un tema interesante, la reducción de toda la aritmética a un solo operador (he.e adición) y ver las diferentes conexiones con otras operaciones bajo una nueva luz (e.g computacionales o funcional).

Nota una investigación como esta puede ser importante (por ejemplo) de la física. La física utiliza fórmulas matemáticas para describir la realidad física, tales fórmulas contienen varios operadores, la simplect de los cuales son la suma y la multiplicación. Pero suponiendo que uno puede fisicamente agregar (digamos) dos palos, mediante la colocación de una después de la otra (por lo que el compuesto de longitud es la suma de las longitudes), ¿cómo puede ser multiplicado? ¿Cuál sería el físico contra-parte de una operación de multiplicación? (relativa a la "física de cálculo")