Otra forma de ver que el "todo el mundo tiene más o menos la misma cantidad de dinero" es poco probable que se dé cuenta de que esto simula un paseo aleatorio en un $(n-1)$-simplex, tomando de la unidad de pasos a lo largo de dos ejes a la vez. Por ejemplo, para dos personas, esta es una caminata aleatoria a lo largo de la línea a[[1]] + a[[2]] = 200; para tres personas, esta es una caminata aleatoria a lo largo del triángulo a[[1]] + a[[2]] + a[[3]] = 300.
Los tres caso de persona es instructivo. El espacio de las posibilidades, es un triángulo, que podemos dividir en congruentes sextos -- lugar un vértice en el punto de $(100,100,100)$, la condición inicial. Agregar un borde entre ese vértice y cada uno de los triángulo de vértices, en $(300,0,0)$, $(0,300,0)$, y $(0,0,300)$, y un borde entre ese vértice y los puntos medios de los bordes, en $(150,150,0)$, $(150,0,150)$, y $(0,150,150)$. Estos seis triángulos son congruentes y se corresponden con las seis formas en las que la podríamos orden de los tres jugadores de nuestro juego (es decir, que tiene el mayor, el del medio, y menos dinero). Ya que estamos de la clasificación, esto no importa el orden, por lo que podemos considerar un solo triángulo y saca conclusiones a partir de que uno.
Un triángulo tiene los bordes $(100,100,100)$, $(150,150,0)$ y $(300,0,0)$. La "equidad", de su intuición puede ser medido por la distancia desde el vértice $(100,100,100)$ somos. Inicialmente, comenzamos en este vértice y empezar a caminar alrededor de la gran triángulo. Esto corresponde a caminar alrededor de nuestro pequeño triángulo y que se refleja en las dos bordes hemos añadido cuando cruzamos a partir de una copia de el triángulo a otro. Todavía nos queda en la orilla, que era parte del borde del triángulo original debido a que aún no permitir que la persona con $0$ dinero para ir a la deuda.
Toma 200 pasos para ir desde el punto inicial hasta el vértice $(300,0,0)$ y si hemos tenido un sin restricciones a pie, sería de esperar un par de (típicamente $6$ o $10$, dependiendo de cuán cerca del equilibrio, que cuenta como "lo suficientemente cerca") veces $200^2 = 40\,000$ pasos para tener un 50% de posibilidades de desplazamiento de tan lejos como la de una persona gana vértice. Ya que hay algunos "no hay transacciones" cuando llegamos a un borde (muy probablemente, en el barrio de este vértice) tardará muchos pasos más antes de que podamos decir que se han asentado en nuestro comportamiento a largo plazo.
Sin embargo, podemos observar en la máxima probabilidad de resultado. El triángulo es simétrico alrededor de la línea a[[1]]+a[[2]] = 150, por lo que ignorando la "pegajosa bordes" esperaríamos a ser la misma probabilidad de estar en una situación en la que un jugador tiene más de la mitad del dinero o de los tres jugadores tienen menos de la mitad del dinero. Tenga en cuenta que el pegajoso límite está en el lado de esa línea en la que un jugador tiene más de la mitad del dinero, por lo que si no podemos ignorar la "pegajosa" de línea, esperamos que (bastantes) más de 50% de paseo aleatorio (de longitud suficiente) producirá un jugador con más de la mitad del dinero, con el resto de la división (probablemente de manera desigual) entre los otros dos (de hecho, la mediana de la división es $2:1$, con la pegajosa borde favoreciendo una más extrema split). Así, incluso en las tres persona juego, esperamos una muy desigual distribución de después de (digamos) un cuarto de millón de pasos.
El análisis con mayor $n$ es similar, pero más pesado. Tenga en cuenta que la situación es recursivo -- ignorar los más ricos del jugador, la distribución de la riqueza remanente debe ser la de la $n-1$ variación de este proceso, se trabaja con el total de la riqueza de ser lo que fue dejado por la persona más rica. No he trabajado a través de los detalles, pero recuerdo que esto caracteriza a un proceso de Pareto, así que yo esperaría que para ser la limitación de la distribución.
