Proyectiva límite de espacios de Banach

Question

Deje $(X_s)_{s \in (0,s_1)}$ será cada vez más una secuencia de espacios de Banach con la propiedad de que si $0<s<r<s_1$, luego

$$\|u\|_{X_s} \leq \|u\|_{X_r}.$$

Definimos

$$\tilde{X}_s = \projlim_{r>s} {X_r}.$$

Por favor, que me ayude a entender los espacios de $\tilde{X}_s$.

Contexto: Si ayuda, el contexto de mi pregunta es la PDE. Los espacios de $X_s$ son en realidad espacios de funciones de tal manera que un operador diferencial aporta un elemento de $X_s$ a un espacio más grande $X_r$.

En la parte superior de mi cabeza, las preguntas que tengo son:

• ¿Cuáles son los elementos de $\tilde{X}_s$?
• ¿Qué tipo de espacio es esto? Creo que en algún sitio he leído que $\tilde{X}_s$ va a llegar a ser un Frechet espacio. Es esto correcto?
• Si me aplican un diferencial de operador a un elemento de $\tilde{X}_s$, ¿qué sucede?

Nota: ya he visto algunas de las respuestas que aquí respecto a la proyectiva límite o límite inversa, pero todos ellos eran demasiado avanzadas para mí entender. Si me he perdido una respuesta que podría ser útil, en mi caso, no dude en darme el enlace en su lugar. Gracias!

Answer 1

$\tilde X_s = \bigcap\limits_{r>s} X_r = \bigcap\limits_{n\in\mathbb N} X_{s+1/n}$ está dotado con la (localmente convexo) topología de tener todos los $\|\cdot\|_r$, $r>s$, como seminorms (o sólo $\|\cdot\|_{s+1/n}$, $n\in\mathbb N$). Luego de convergencia $x_\alpha \to x$ $\tilde X_s$ es equivalente a $x_\alpha \to x$ $X_r$ (o sólo en $X_{s+1/n}$). $\tilde X_s$ es de hecho un Fr\ecget espacio: es metrizable debido a la topología puede ser dada por countably muchos seminorms y la integridad de la siguiente manera, en lugar fácilmente de la integridad de todos los $X_r$.

Si usted tiene un operador lineal $T$ en algunas de las $X_t$ $t>s$ puede restringir a la intersección. Entonces será continua en $\tilde X_s$ si y onlyif, para cada $p\in (s,t)$ hay $q\in (s,t)$ tal que $T:X_q\to X_p$ es continua.