Punto de advertencia: la investigación no producen resultados útiles para su pregunta, así que esto es el resultado de una rápida sesión en la que he mirado el problema. Me las arreglé para llegar a algo, pero no es una muy general o enfoque riguroso. Aún así, espero que les sea útil (o al menos interesante). Sólo le ayuda a encontrar las expresiones analíticas para algunas de las soluciones que en realidad me pregunto si las otras soluciones expresiones analíticas: tipo de mirada como que no.
Si usted escribe $f_x(y) = 2 - x^2 - y^2$, se buscan los puntos tales que
$$ y = f_x^k(y), k\geq 1 $$
Los puntos que satisfacen esta ecuación para $k = 1$ son llamados puntos fijos de $f_x$, los puntos que satisfacen esta ecuación para cualquier $k$ son llamados periódicos de puntos con el período de $k$. La secuencia de $(f_x^k(y))_{k \geq 0}$ se llama la órbita de $y$, de manera periódica puntos de órbitas periódicas. No voy a hacer algo de fantasía con estas definiciones (de hecho, espero que me recitó correctamente...), me escribió para dar al lector interesado en algunos de los términos de google. Yo no conozco a ninguna teoremas o estrategias para la búsqueda de periódico puntos en la general.
Así pues, echemos un vistazo a esta función específica. Si tenemos una solución a $f(y) = 2 - x^2 - y^2$ también tenemos una solución a $f(y) = 2 - x^2 - (2 - x^2 - y^2)^2$ por sustitución. El recíproco no es cierto: no todas las soluciones de la segunda ecuación es también una solución a la primera, como se dio cuenta. Esto es equivalente a señalar que todos los $y = f_x(y)$ es también una solución a $y = f(f(y))$, pero, en general, a la inversa de la declaración no es cierto: no todas las soluciones de la segunda ecuación es también una solución de la primera ecuación.
Estoy a la deriva lejos: estamos en la búsqueda de soluciones a $y = 2 - x^2 - (2 - x^2 - y^2)^2$. Si asumimos $y = 2 - x^2 - y^2$ podemos simplificar a $y = 2 - x^2 - y^2$. Ahora voy a hacer algunas locas suposiciones aquí, pero tengan paciencia conmigo. Estoy interesado si alguien puede pensar o sabe de una forma más sencilla y directa para ello.
Supongo que otras soluciones que se pueden encontrar en la misma manera: suponga $y = g(y)$ para algunos la función $g$, a continuación, reemplace $g(y)$ $y$ a simplificar la ecuación, y terminan con la misma ecuación de $ y = g(y) $. Por supuesto, elegimos $g \not = f$ aquí. Pero lo $g$ debemos escoger? Que no es fácil de contestar, pero si queremos obtener alguna solución analítica, seguro que ayuda si se puede fácilmente sustituir en $ y = 2 - x^2 - (2 - x^2 - y^2)^2 $ y, de hacerlo, sería simplificar la expresión. Desde que sustituir en las $(x^2 - y^2)^2$, una conjetura sería que después de la sustitución tenemos el cuadrado de una forma lineal en $y$ a la izquierda, lo que podría significar que $g$ es quadractic en $y$. Esto es consistente con la solución de $y = 2 - x^2 - y^2$.
Ahora, el punto de este galimatías: asumimos que la sustitución de $g(y)$ $y$ $2 - x^2 - y^2$ los rendimientos de algunos de expresión lineal. Digamos que tenemos $2 - (x^2 + y^2)$ y consigue $ay + b$ después de la sustitución de $y$$g(y)$. A continuación, $y = g(y)$ es equivalente a $2 - x^2 - y^2 = ay + b$. La solución para $y$ rendimientos $y = \frac{2 - b - (x^2 + y^2)}{a} = g(y)$. Después de la sustitución obtenemos $y = 2 - x^2 - (ay + b)^2 = \frac{2 - b^2 - x^2 - a^2y^2}{2ab + 1}$. Desde sólo sabemos (desde que asumió)$y = \frac{2 - b - x^2 - y^2}{a} = g(y)$, podemos hacer que todo sea verdad mediante la selección de $a, b$ que hacen de $$ \frac{2 - b - x^2 - y^2}{a} = \frac{2 - b^2 - x^2 - a^2y^2}{2ab + 1} $$
Ahora $a = 1, b = 0$ nos da $y = 2 - x^2 - y^2$, $a = -1, b = 1$ nos da $-y = 1 - x^2 - y^2$. Yo quería hacer el caso general, pero esto me ha costado tiempo suficiente por ahora. Podría agregar que en un par de días.
