Sistema dinámico

Question

Considere el sistema dinámico $$ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n - \frac{1}{x_n}) \ \ , \ \ n = 0, 1 , 2,... $$

Así, mediante la sustitución de $x_n = \cot(y_n)$, que he encontrado: $$ x_n = \cuna(\cot^{-1} (x_0) \cdot 2^n ) $$

pero la siguiente parte de la pregunta dice

Permítanos parametrizar la condición inicial $x_0$ por medio de un único ángulo de $\theta \in (0, \pi)$ tal que $x_0 = \cot(\theta)$. Demostrar que, para cada $p>1$, la elección $$ \theta = \theta_p := \frac{\pi}{2^p - 1} $$ los rendimientos de un periodo-p de la solución.

Así que sé que tengo que mostrar que $x_n = x_{n+p}$, que es: $$ cuna(\frac{\pi}{2^p - 1} \cdot 2^n) = cot(\frac{\pi}{2^p - 1} \cdot 2^{n+p}) $$ y así, con la periodicidad de las $\cot$, que $$ \frac{\pi}{2^p - 1} \cdot 2^n + k \pi= \frac{\pi}{2^p - 1} \cdot 2^{n+p} $$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$. De forma inductiva, tenemos para $p = 1$ que $\theta_1 = \pi$ por lo tanto $$ x_{n+1} = \cuna (\pi \cdot 2^{n+1}) = \cuna(\pi \cdot 2^n + \pi \cdot 2^n) = \cuna(\pi \cdot 2^n) = x_n $$ y así tenemos un período-1 solución. ¿Cómo puedo mostrar el paso inductivo para esta prueba?

Answer 1

$x_0=\cot(\theta)$ Tenemos

$x_1=\frac{1}{2}\Big[\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}-\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\Big]= \cot(2\theta)$

e inductivo

$x_{n}=\cot(2^n\theta)$

Así cuando $\theta=\frac{\pi}{2^p-1}$ obtenemos

$x_{n+p}=\cot\big(\frac{2^{n+p}\pi}{2^p-1}\big)=\cot\Big(\frac{2^n(2^{p}-1)\pi}{2^p-1}+\frac{2^{n}\pi}{2^p-1}\Big)=\cot\Big(2^n\pi+\frac{2^{n}\pi}{2^p-1}\Big)=\cot\Big(\frac{2^{n}\pi}{2^p-1}\Big)=x_n$

desde $2^n\pi$ ia un entero múltiplo de $\pi$.