integrable de Lebesgue e integrable impropio de Riemann

Question

Estoy sentado aquí en una tarea, donde tengo que mostrar que para la función:

$$f:(0,1]\times(0,1]\to\mathbb R, \quad f(x,y)=\frac{x-y}{(x+y)^3},$$

la integral doble de Riemann es la integral doble de Lebesgue:

$$\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dx \, dy= \int_{(0,1]} \int_{(0,1]} f(x,y) \, d\lambda_1(x) \, d\lambda_1(y),$$

y demostrar que $f$ no es $\lambda_2$ integrable.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Para la segunda parte, puedes argumentar por contradicción. Si fuera $\lambda_2$ -integrabile, entonces por Fubini-Tonelli las integrales se intercambiarían. Sin embargo, usted debe ser capaz de demostrar que el intercambio de las integrales produce un cambio de signo.

Por supuesto, eso supone que sabes que si una función es a la vez Riemann- y Lebesgue-integrable las dos integrales coinciden, y que este es el caso aquí, y así puedes evaluar la doble Lebesgue-integral como una Riemann-integral, que es la pregunta uno.

Así pues, enunciamos el teorema que responde a la pregunta 1.

Teorema

Sea $X=[a,b]$ y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función integrable de Riemann y Lebesgue. Entonces: $$\int_Xf\mathrm{d}\lambda_1=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x.$$ En otras palabras, si las integrales de Lebesgue y de Riemann de una función existen, entonces coinciden.

Prueba. Por el Teorema de convergencia monótona las integrales de cualquier familia de funciones simples $\phi_n$ tal que $\phi_n\uparrow f$ convergerá en casi todas partes a la integral de $f$ . Por ejemplo, si dividimos $[a,b]$ en intervalos cada vez más pequeños, y considerar las funciones que, para cada partición, asignan un punto al mínimo de la función $f$ en el intervalo donde se encuentra el punto, obtenemos $\phi_n$ una secuencia de funciones simples que convergen monótonamente ¿a qué? Bueno, si $f$ es continua en algún punto, convergerán a $f$ en ese punto. Hay un resultado, que no puedo probar, que afirma que $f$ es R-integrable si el conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida 0. Prueba aquí, Teorema 3.4.2, pp. 24-25 . Con ello, tenemos convergencia a.e., por lo que las integrales de $\phi_n$ convergen a la de $f$ . Pero esas integrales son sumas de Riemann, por lo que también convergen a la integral de Riemann. Pero el límite de una sucesión es único, por lo que el resultado se deduce. $\square$

Por continuidad, su $f$ será integrable en cada una de las dimensiones, y si calculas su primitiva encontrarás que la primitiva también es integrable en $y$ tanto en el sentido de Riemann como en el de Lebesgue, por lo que las dos integrales dobles existen, lo que completa la pregunta 1.

En cuanto a la pregunta 2, véase el apartado 1.