Bolas en un cuadro de probabilidades

Question

Un cuadro es llenada por $1,000$ bolas. El cuadro puede ser pensado como conteniendo $V$ sitios y $V$ bolas, con $V=1,000$. El cuadro es repetidamente sacudido, de modo que cada bola tiene tiempo suficiente para visitar todos los $1,000$ sitios. La pelota son idénticos, excepto que se está numerado de$1$$1,000$.

¿Cuál es la probabilidad de que todas las bolas de la etiqueta de $1$ $100$encuentran en el lado izquierdo de la caja?

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $P$ de las bolas marcadas $1$ $100$encuentran en el lado izquierdo de la caja?

Usando la aproximación de Stirling, muestran que esta probabilidad es aproximadamente Gaussiana. Calcular la media de $P$. calcular la raíz cuadrada de la media aritmética de las fluctuaciones de $P$ sobre la media. Es la aproximación Gaussiana buena?

Cualquier idea es muy apreciada.

Answer 1

Consejo: para el primero, piensa mirando las bolas en orden. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola de $1$ está en el lado izquierdo de la caja? Dado que es en la izquierda, y ocupando un sitio, ¿cuál es la probabilidad de que la bola de $2$ está en el lado izquierdo de la caja? Usted debe ser capaz de escribir esto en términos de combinaciones, lo que ayudará con el pensamiento en la segunda parte.

Para el segundo, elija $P$ de las bolas $1-100$ a estar en el lado izquierdo de la caja. Cuántas maneras hay de hacer eso? A continuación, escoger dónde ir en la izquierda. Cuántas maneras hay de hacer eso? A continuación, elija donde el $100-P$ va a la derecha. Cómo muchas maneras de hacer eso? El producto es el número de maneras de conseguir $P$ $1-100$ a la izquierda.

Answer 2

Nota: "de lo contrario No distinguible" simplemente significa que no hay sesgo en donde las bolas de la tierra todos los distintos resultados — todos los distintos arreglos de bolas en la caja son igualmente probables. Así podemos medir la probabilidad mediante la comparación de los recuentos de permutaciones de arreglos: favorecida frente a total.

¿Cuál es la probabilidad de que todas las bolas de etiquetado de $1$ $100$encuentran en el lado izquierdo de la caja?

• Favorecido espacio: recuento de formas de seleccionar todos los $100$ de la $100$ bolas especiales y $500-100$ $1000-100$ sin bolas especiales. (Significado especial etiquetados 100 o menos)
• Espacio Total: recuento de formas de seleccionar cualquier $500$ de todos los $1000$ bolas.

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $P$ de las bolas etiquetados $1$ $100$encuentran en el lado izquierdo de la caja?

• Favorecido espacio: recuento de selecciones de sólo $P$ de la $100$ bolas especiales y $500-P$ $1000-100$ sin bolas especiales.
• Espacio Total: recuento de selecciones de cualquier $500$ de todos los $1000$ bolas.

Verificación: al $P = 100$ de las respuestas debe ser el mismo.