Integrar: $\int^1_0\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}dr$

Question

$$\int_0^1\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}\ \mathrm dr$$

He adjuntado mi trabajo. Estoy atascado.

Answer 1

Sugerencia:

$$\tan^3(\theta) \sec (\theta)=(\sec^2(\theta)) (\sec(\theta) \tan(theta)$$ y $u=\sec(\theta)$...

P. S. Usted puede resolver la integral original más rápido $$\int^1_0\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}dr=\int^1_0\frac{(r^2+4-4)r}{\sqrt{4+r^2}}dr$$ y $u=r^2+4$.

Answer 2

$$\int^1_0\frac{r^3}{\sqrt{4+r^2}}\ \mathrm dr$$ Mediante sustitución trigonométrica, tenemos $$r=2\tan\phi\Rightarrow \mathrm dr=2\sec^2\phi\ \mathrm d\phi$$ Ahora vamos a buscar los límites inferiores y superiores $$1=2\tan\phi\Rightarrow \phi=\arctan\frac12$$ $$0=2\tan\phi\Rightarrow \phi=\arctan 0=0$$ Así que ahora tenemos $$\int^{\arctan\frac12}_0\frac{16\tan^3\phi\sec^2\phi}{\sqrt{4+4\tan^2\phi}}\ \mathrm d\phi$$ $$=8\int^{\arctan\frac12}_0\frac{\tan^3\phi\sec^2\phi}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}\ \mathrm d\phi$$ $$=8\int^{\arctan\frac12}_0\frac{\tan^3\phi\sec^2\phi}{\sqrt{\sec^2\phi}}\ \mathrm d\phi$$ $$=8\int^{\arctan\frac12}_0\frac{\tan^3\phi\sec^2\phi}{\left|\sec\phi\right|}\ \mathrm d\phi$$ Desde $\sec\phi\geq 0$$\phi\in \left[0, \arctan\frac12\right]$, tenemos $$8\int^{\arctan\frac12}_0\frac{\tan^3\phi\sec^2\phi}{\sec\phi}\ \mathrm d\phi$$ $$=8\int^{\arctan\frac12}_0 \tan^3\phi\sec\phi\ \mathrm d\phi$$ $$=8\int^{\arctan\frac12}_0 \tan\phi\sec\phi\left(\sec^2\phi-1\right)\ \mathrm d\phi$$ El uso de $u$de sustitución, tenemos $$u=\sec\phi\Rightarrow\mathrm du=\tan\phi\sec\phi\ \mathrm d\phi$$ Así que ahora $$8\int^{\frac{\sqrt 5}{2}}_1 \left(u^2-1\right)\ \mathrm du$$ $$=8\left(\int^{\frac{\sqrt 5}{2}}_1 u^2\ \mathrm du-\int_1^{\frac{\sqrt 5}{2}}\mathrm du\right)$$ $$=8\left(\frac{5\sqrt 5}{24} -\frac13-\frac{\sqrt 5}{2}+1\right)$$ $$=8\left(\frac{5\sqrt 5}{24} -\frac{\sqrt 5}{2}+\frac23\right)$$ $$=\frac83\left(\frac{5\sqrt 5}{8} -\frac{3\sqrt 5}{2}+2\right)$$ $$=\frac13\left(16-7\sqrt 5\right)$$

Answer 3

Sugerencia: $\tan^3(x)\sec (x)=\sec^2(x)\tan(x)\sec (x)-\tan(x)\sec (x)$. A continuación, utilice la sustitución de $u = \sec (x)$. También el cambio de la integral de los límites de accodring a las sustituciones que hacer.

Answer 4

SUGERENCIA:

$$\int_{0}^{1}\frac{r^3}{\sqrt{r^2+4}}\space\text{d}r=$$

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Sustituto $u=r^2$$\text{d}u=2r\space\text{d}r$.

Esto le da un nuevo límite inferior $u=0^2=0$ y el límite superior $u=1^2=1$:

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$$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{u}{\sqrt{u+4}}\space\text{d}u=$$

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Sustituto $s=u+4$$\text{d}s=\text{d}u$.

Esto le da un nuevo límite inferior $s=4+0=4$ y el límite superior $s=4+1=5$:

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$$\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\frac{s-4}{\sqrt{s}}\space\text{d}s=$$ $$\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\left(\sqrt{s}-\frac{4}{\sqrt{s}}\right)\space\text{d}s=$$ $$\frac{1}{2}\left(\int_{4}^{5}\sqrt{s}\space\text{d}s-\int_{4}^{5}\frac{4}{\sqrt{s}}\space\text{d}s\right)=$$ $$\frac{1}{2}\left(\int_{4}^{5}\sqrt{s}\space\text{d}s-4\int_{4}^{5}\frac{1}{\sqrt{s}}\space\text{d}s\right)=$$ $$\frac{1}{2}\left(\int_{4}^{5}s^{\frac{1}{2}}\space\text{d}s-4\int_{4}^{5}s^{-\frac{1}{2}}\space\text{d}s\right)$$

Answer 5

Intente $u^2=4+x^2,$ $2udu=2xdx$ e las $x^2$ en la parte superior es $u^2-4,$ hacer una integral sin un radical.