Relaciones en la presentación del grupo

Question

En una introducción al álgebra abstracta, me presentaron recientemente la idea de presentar un grupo - mínimamente, un grupo es sólo un conjunto de generadores junto con un conjunto de relaciones entre los generadores. Creo que tengo, al menos, una comprensión bastante básica de esta idea. Por otro lado, no entiendo muy bien cuándo uno sabe que tiene una cantidad suficiente de relaciones para caracterizar de forma única el grupo en cuestión. Por ejemplo, un ejemplo común de generadores y relaciones es el grupo diedro $D_n = \{ \rho, \tau : \;\rho^n = 1, \tau^2 =1, \tau\rho\tau^{-1}=\rho^{-1} \}$ . Claramente hay dos generadores aquí: una rotación $\rho$ por un ángulo $2\pi/n$ y una reflexión $\tau$ . Lo que no entiendo es cómo se sabe exactamente que estas tres relaciones enumeradas son suficientes para caracterizar el grupo. Al enumerar las relaciones, veo que cada una de estas propiedades son verdaderas, pero ¿cómo se sabe que no pueden limitarse a $\rho^n = 1$ et $\tau^2= 1$ Las propiedades más básicas de $D_n$ ? Se agradecería una pequeña aclaración al respecto, ya que me parece que me estoy perdiendo algo obvio.

Answer 1

Esto no responde a tu pregunta concreta, sino que es más bien mi sensación general sobre las presentaciones.

Idea clave : Las presentaciones facilitan la comunicación con el grupo concreto con el que se trabaja, pero generalmente son difíciles de idear, ¡o de trabajar!

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Por ejemplo, hay muchísimos grupos de orden $96$ -- 231 de ellos, para ser precisos . Pero si has encontrado uno interesante (digamos, este tipo ), ¿cómo diablos se lo describiría a alguien, especialmente si no pertenece a una familia bastante conocida, o tiene una bonita descripción como productos (semi)directos?

Ahí es donde entra en juego una presentación. Supongamos que tienen tal presentación, lo escribes, se lo cuentas a tu amigo y ya está. Tu trabajo está hecho.

Esto es ignorar el hecho de que es realmente no trivial para determinar un conjunto de relaciones que fija su grupo. Nunca se me ha ocurrido hacerlo, pero apuesto a que no es una tarea agradable. ¿Por qué estaría dispuesto a apostar eso?

Volvamos a tu amiga, cuando recibe la presentación compacta que enviaste antes. Tiene mucho trabajo por delante. Ver esta respuesta de la mía para tener una idea del tipo de trabajo que se requiere sólo para enumerar elementos, para un grupo de orden sólo $8$ . Resumiendo, no es nada fácil desempacar una presentación, en general. Esto es sin siquiera mencionar el problema de palabras lo que, en cierto modo, precisa lo difícil que es.

Así que, en resumen, las presentaciones en grupo están bien como exactamente eso: presentaciones. Si tienes cualquier otra descripción del grupo para trabajar, lo más probable es que sea más fácil que trabajar con la presentación.

Answer 2

La relación $\tau \rho \tau ^{-1} = \rho ^{-1}$ te habla de cómo $\tau$ et $\rho$ interactuar. Sin ella, sólo tendrías un grupo libre sobre dos letras modulando esas relaciones de orden.

Puedes considerar $D_{2*4} = D_8$ las rotaciones del cuadrado y convéncete de que la composición de rotaciones y reflexiones satisface efectivamente dicha relación.

Una explicación informal ahora sobre por qué estas tres relaciones deberían ser suficientes:

Por el argumento geométrico que utilicé en $D_8$ deberíamos ser capaces de convencernos de que hay un grupo de orden $2n$ con las relaciones descritas en la presentación. Así que cualquier presentación de este tipo da lugar a un grupo de orden $2n$ o más grande. Ahora afirmo que la relación entre $\rho$ et $\tau$ restringirá la orden a un máximo de $2n$ .

La relación $\tau \rho \tau ^{-1} = \rho ^{-1}$ suele llamarse relación de conmutación, porque indica cómo mover el $\tau$ et $\rho$ entre ellos. Con esta relación, podemos presentar cada palabra en $D_{2n}$ como $\rho ^i \tau ^j$ donde $0 \le i < n$ et $j = 0,1$ . Ahora está claro que, efectivamente, puede haber como máximo $2n$ .

Esto vuelve a lo que esperaba transmitir originalmente, que era que necesitamos una tercera relación que nos diga cómo se comportan las rotaciones y las reflexiones juntas. Espero que esto aclare un poco las cosas.