Sencillo demostrar que el producto de las diagonales de un polígono = N

Question

Hay una hermosa realidad:

Si usted toma regular de N lados del polígono, que se inscribe en el círculo unidad y encontrar el producto de sus diagonales (incluyendo los dos lados) lleva a cabo desde una esquina obtendrá N exactamente:

$A_1A_2\cdot A_1A_3\cdot ...\cdot A_1A_N = N$

Por ejemplo, para una plaza tenemos $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 4$.

Sé que hay algunos de demostrar, que se basa en los números complejos. Pero el resultado es tan simple que me pregunto es mucho más sencillo de demostrar, que se puede explicar a un niño de la escuela fácilmente?

P. S. por Favor, utilice la etiqueta de spoiler >! en sus respuestas.

Answer 1

Aquí es muy simple prueba, pero que requiere del trabajo en el campo de $\mathbb{C}$.

Para cualquier natural $n > 0$:

Deje $w = e^{i\frac{2\pi}{n}}$

$\prod_{k=1}^n (z-w^k) = z^n-1$ porque ambos son monic polinomios de grado $n$ con el mismo $n$ raíces

Por lo tanto $\prod_{k=1}^{n-1} (z-w^k) = \lim_{t \to z} \frac{t^n-1}{t-1} = \sum_{k=0}^{n-1} z^k$

En particular, $\prod_{k=1}^{n-1} (1-w^k) = \sum_{k=0}^{n-1} 1^k = n$

Por lo tanto el producto de las diagonales deseado es $|n| = n$

Answer 2

No es una prueba, sino una interesante visualización (usando $n=7$) ...

Aquí, $|\overline{P_0P_1}| = 1$, y cada una de las $\triangle P_0 P_k P_{k+1}$ es isósceles con ángulo del vértice $\angle P_k = \frac{2\pi k}{n}$ (o $2\pi-\frac{2\pi k}{n}$). Por lo tanto, $$|\overline{P_0 P_{k+1}}| \;=\; 2\;|\overline{P_0 P_{k}}|\;\sin \frac{1}{2}\angle P_{k} \;=\; 2\;|\overline{P_0 P_{k}}|\;\sin\frac{\pi k}{n}$$ de modo que, en última instancia, (con $A_i$ como en la figura) $$|\overline{P_0 P_n}| = 2 \sin\frac{\pi}{n} \cdot 2\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\;\cdots\;\cdot 2 \sin\frac{(n-1)\pi}{n} = |\overline{A_1 A_2}| \cdot |\overline{A_1 A_3}| \cdot\;\cdots\;\cdot |\overline{A_1 A_n}|$$

Como el diagrama de hace claro, $P_0$, $P_1$, y $P_n$ ciertamente son colineales (como son, de manera más general, los puntos de $P_0$, $P_k$, $P_{n-k+1}$ para cualquier $k$). Sin embargo, mientras que el diagrama que aparece para mostrar que $\overline{P_0 P_7} = 7$ (como debe ser, porque sabemos que de ser el caso), esto no califica como una prueba.

---

OP observa que no existen pruebas de la relación con el uso de "complejo de aritmética". Esta respuesta, por ejemplo, esencialmente le da a uno. (Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar la fórmula no por $|\overline{A_1A_2}|\cdot|\overline{A_1A_n}| = 2^2 \sin^2\frac{\pi}{n}$ para incluir a las "diagonales" que en realidad son los lados del polígono.)

En referencia a @StevenStadnicki comentario, parece que este ...

$$|\overline{P_0 P_n}| = |\overline{A_1 A_2}| \cdot |\overline{A_1 A_3}| \cdot\;\cdots\;\cdot |\overline{A_1 A_n}|$$

... afirma la igualdad entre unidimensional de la cantidad a la izquierda, y un $(n-1)$-dimensional de la cantidad a la derecha. Tal vez deberíamos escribir la relación adimensional ... $$\frac{|\overline{P_0 P_n}|}{|\overline{P_0 P_1}|} = \frac{|\overline{A_1 A_2}|}{|\overline{A_0 A_1}|} \cdot \frac{|\overline{A_1 A_3}|}{|\overline{A_0 A_1}|} \cdot\;\cdots\;\cdot \frac{|\overline{A_1 A_n}|}{|\overline{A_0 A_1}|}$$ ... donde $A_0$ es el centro de la $A$-polígono de la circunferencia circunscrita. (Esta es, efectivamente, @JimmyK4542 sugerencia.)

Answer 3

Aquí está mi intento de primaria de la prueba. Después de horas de mirar, creo que (como mínimo) un par de identidades trigonométricas sería necesaria en cualquier primaria de demostración.

Dado nuestro círculo con $n$ nodos que va alrededor del círculo, es claro que cada borde de interés, $a_k$, $1\le k\le n-1$, es parte de un triángulo isósceles con el nodo en el centro, a los lados, $1,1,a_k$, e interior ángulo de $(2\pi)/n$. Por lo tanto, usando la ley de cosenos y de un producto a una fórmula, obtenemos,

$$a_k^2=1^2+1^2-2\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)=4\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{(n-k)\pi}{n}\right).$$ Ahora tenemos, el uso de este (fórmula 24),

$$a_1^2\cdots a_{n-1}^2 = \prod_{k=1}^{n-1}\left(4 \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{(n-k)\pi}{n}\right)\right) =\\ 4^{n-1} \left(\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2 = 4^{n-1}\left(\frac{n}{2^{n-1}}\right)^2 = n^2.$$ Hence, our theorem holds, $$a_1\cdots a_{n-1}=n.$$

Answer 4

Considerar las soluciones complejas $z_0, \ldots , z_{n-1}$$(z+1)^n-1 = 0$. Estas soluciones están espaciados de manera uniforme en el círculo centrado en $z = -1$ radio $1$. Por lo tanto, forman una regular $n$-gon.

Desde $0 = (z+1)^n-1 = z^n + \cdots + nz+1-1 = z(z^{n-1}+\cdots +n)$, sabemos que $z_0 = 0$ es una solución, y el producto de los otros $n-1$ soluciones es $z_1 \cdots z_{n-1} = (-1)^{n-1}n$.

Entonces, el producto de las distancias desde $z_0$ a cada una de las $z_i$'s $|z_1-z_0| \cdots |z_{n-1}-z_0| = |z_1| \cdots |z_{n-1}| = |z_1 \cdots z_{n-1}| = |(-1)^{n-1}n| = n$, como se desee.