Una pregunta sobre la notación: $u(x,y)$ vs $u(x+iy)$.

Question

En el Tao del complejo de notas de análisis, se utiliza la convención de que las $$f(z)=u(z)+iv(z)= u(x+iy)+iv(x+iy)$$ lo que implica que las funciones son $$u,v:\mathbb{C} \to \mathbb{R}.$$ But in other places I see the convention $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$ which implies that they functions are $$u,v:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}.$$

¿Importa esto? A mí me parece que, después de todo hay bastantes diferencias entre las estructuras de $\mathbb{R}^2$$\mathbb{C}$, aunque son similares?

Answer 1

Realmente no hay ninguna diferencia en la estructura de $\mathbb R^2$ y $\mathbb C$: $\mathbb C$ es sólo $\mathbb R^2$ con una operación de multiplicación poner en ella.

Prefiero ver a $z=x+iy$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, lo que significa que expresiones como $\frac{\partial u}{\partial x}$ más sentido. De hecho, yo incluso ir tan lejos como para decir que fue un error en el Tao de la parte a escribir $f(z)=u(x+iy)+v(x+iy)$, tal y como hace las cosas un poco menos clara. Por otro lado, estoy seguro de que usted sabe lo que está hablando - es sólo otra convención, y se puede tratar como si dijera $u(x,y)+v(x,y)$, de todos modos.

De hecho, aunque el Tao de la $u$ es una función de $\mathbb C\to\mathbb R$, sólo hay una forma canónica para convertirlo en una función de $\mathbb R^2\to\mathbb R$ (es decir, sólo hay una función de $\hat u:\mathbb R^2\to\mathbb R$ tal que $\hat u(x,y)=u(x+iy)$, por lo que no perder ninguna información para escribir las cosas a su manera.

Answer 2

$\mathbb R^2$ es espacio de dos dimensiones sobre el campo de los números reales, sino $\mathbb C$ puede ser considerado como espacio de dos dimensiones sobre el campo de los números reales o de un espacio tridimensional sobre el campo de los números complejos.

Si uno considera $\mathbb C$ en el primer caso, es fácil ver que $\mathbb C=\mathbb R^2$ como lineal o espacio vectorial

En este caso los elementos del espacio son pares de $(x,y)$ operaciones $$(x,y)+(z,t)=(x+z,y+t)\\\lambda(x,y)=(\lambda x, \lambda y) \, \forall\lambda\in\mathbb R$$

Debemos considerar la $\mathbb C$ en el segundo caso, los espacios no son isomorfos, ya que los elementos de $\mathbb C$ son números $z=x+iy$ con las operaciones habituales de suma y producto.