Encontrar la solución general del sistema lineal de ecuaciones (la asignacion de tareas)

Question

Suponiendo que $\lambda$ es cualquier número, hace el siguiente conjunto de ecuaciones tiene una solución? Si es así, encontrar la solución general para este sistema. $$\lambda x_1+x_2+x_3=1$$ $$x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda$$ $$x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2$$ Entiendo cómo este problema debe ser resuelto, sin embargo, cuando transformar este conjunto a una matriz fila y, a continuación, reducir a un echolon forma de recibir: $$B=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \lambda & \lambda\\ 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^2\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda+2) & \lambda^3+\lambda^2-\lambda-1\end{array}\right)$$ Pero desde este punto de empezar la lucha, no sabemos de donde estoy cometiendo error.

Answer 1

$$\lambda x_1+x_2+x_3=1$$ $$x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda$$ $$x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2$$ La adición de los tres ecuaciones da $$(\lambda+2)(x_1+x_2+x_3)=1+\lambda+\lambda^2$$ Si $\lambda=-2$ tenemos $0=1+(-2)+(-2)^2=3$, lo cual es absurdo. Por lo tanto podemos dividir por $\lambda+2$:

$$x_1+x_2+x_3=\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}$$ Esto restando de las tres ecuaciones originales da $$(\lambda-1)x_1=1-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}$$ $$(\lambda-1)x_2=\lambda-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}$$ $$(\lambda-1)x_3=\lambda^2-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}$$ Si $\lambda=1$, las tres ecuaciones originales reducir a $x_1+x_2+x_3=1$, cuya solución es simplemente $$x_1=p,x_2=q,x_3=1-p-q\qquad p,q\in\mathbb R\tag1$$ De lo contrario, dividiendo por $\lambda-1$ da la única solución de $$x_1=\frac{1-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}}{\lambda-1}=\frac1{\lambda+2}-1\\ x_2=\frac{\lambda-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}}{\lambda-1}=\frac1{\lambda+2}\\ x_3=\frac{\lambda^2-\frac{1+\lambda+\lambda^2}{\lambda+2}}{\lambda-1}=\frac{(\lambda+1)^2}{\lambda+2}\tag2$$ En conclusión, las soluciones del sistema lineal se

• como en $(1)$ si $\lambda=1$
• ninguno si $\lambda=-2$
• como en $(2)$ lo contrario.

Answer 2

Su trabajo es bueno. Ahora usted está en una encrucijada, pero cualquiera de las $\lambda=1$ o $\lambda\ne1$.

En el último caso, se puede dividir la segunda fila por $\lambda-1$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \lambda & \lambda\\ 0 & 1 & -1 & -\lambda\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda+2) & (\lambda-1)(\lambda+1)^2 \end{array} \right)$$ y también la tercera fila por $\lambda-1$, para obtener $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \lambda & \lambda\\ 0 & 1 & -1 & -\lambda\\ 0 & 0 & \lambda+2 & (\lambda+1)^2 \end{array} \right)$$ Ahora, si $\lambda=-2$, el sistema no tiene solución. Si $\lambda\ne-2$ usted puede encontrar la única solución por métodos estándar.

Si $\lambda=1$, la matriz se vuelve $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ que es fácil de tratar.