Para una variable aleatoria $X$ tal que $P(a<X<b)=1$ , mostrando $E(X)E\left(\frac{1}{X}\right) \le\frac{(a+b)^2}{4ab}$

Question

He trabajado en el siguiente problema y tengo una solución (incluida abajo), pero me gustaría saber si hay alguna otros soluciones a este problema, particularmente soluciones más elegantes que aplican desigualdades bien conocidas que he pasado por alto.

PREGUNTA : Supongamos que tenemos una variable aleatoria s.t. $P(a<X<b) =1$ donde $0 < a < X < b$ , $a$ y $b$ ambas constantes positivas.

Demostrar que $$E(X)E\left(\frac{1}{X}\right) \le \frac{(a+b)^2}{4ab}$$

Sugerencia : encontrar las constantes c y d s.t. $\frac{1}{x} \le cx+d$ cuando $a<x<b$ y argumentar que entonces tendremos $E(\frac{1}{X}) \le cE(X)+d$

MI SOLUCIÓN : Para una línea $cx+d$ que atraviesa $\frac{1}{X}$ en los puntos $x=a$ y $x = b$ es fácil demostrar que $ c = - \frac{1}{ab} $ y $d = \frac{a+b}{ab} $ ,

$$ E\left(\frac{1}{X}\right) \le - \frac{1}{ab} E(X) + \frac{a+b}{ab} $$

$$ abE\left(\frac{1}{X}\right) + E(X) \le (a+b) $$

y como ambos lados de la desigualdad son positivos, se deduce que

$$ \left(abE\left(\frac{1}{X}\right) + E(X)\right)^2 \le (a+b)^2 $$

$$ (ab)^2E\left(\frac{1}{X}\right)^2 + 2abE\left(\frac{1}{X}\right)E(X) + E(X)^2 \le (a+b)^2 $$

Ahora, para el LHS, podemos ver que $2abE\left(\frac{1}{X}\right)E(X) \le (ab)^2E\left(\frac{1}{X}\right)^2 + E(X)^2$

porque

$0 \le (ab)^2E\left(\frac{1}{X}\right)^2 - 2ab\,E\left(\frac{1}{X}\right)E(X) + E(X)^2 = \left(ab\,E\left(\frac{1}{X}\right) - E(X)\right)^2 $

Así que,
$$ 4ab\,E\left(\frac{1}{X}\right)E(X) \le (ab)^2E\left(\frac{1}{X}\right)^2 + 2ab\,E\left(\frac{1}{X}\right)E(X) + E(X)^2 \le (a+b)^2 $$

y por lo tanto:

$$ E\left(\frac{1}{X}\right)E(X) \le \frac{(a+b)^2}{4ab} $$ Q.E.D.

Gracias por cualquier adicional soluciones que pueda aportar. Saludos.

Answer 1

Para cualquier número $x$ tal que $0<a\le x\le b$ tenemos $x-a\ge0$ y $b-x\ge0$ Así que $$ (x-a)(b-x)\ge0,$$ que se reordena en la forma equivalente $$ {ab\over x} + x\le a+b,\tag{1}$$ que es la desigualdad que has obtenido antes. Puedes simplificar el resto de la prueba de la siguiente manera. Sea $X$ sea una variable aleatoria con $0<a\le X\le b$ . Utilice $(1)$ para conseguirlo: $$m+n\le a+b,$$ donde $m:=abE(1/X)$ y $n:=E(X)$ son ambos positivos. Entonces $$4abE(1/X)E(X) = 4mn=(m+n)^2-(m-n)^2\le(m+n)^2\le(a+b)^2.$$