Si $2 a_n \leq a_{n-1} + a_{n+1}$ $a_{n+1} - a_{n} \to 0$

Question

Deje $a_n$ ser un almacén de la secuencia de los números reales tales que $2 a_n \leq a_{n-1} + a_{n+1}$ $n = 2,3,...$ . Mostrar que $a_{n+1} - a_{n} \to 0$

Answer 1

La reescritura de la desigualdad como $a_{n+1}-a_n \ge a_n-a_{n-1}$. Deje $b_{n}=a_{n+1}-a_n$.

A continuación, $(b_n)$ es un aumento de la secuencia que está delimitada por encima, por lo que tiene un límite.

Si ese límite no es $0$, entonces la secuencia de $(a_n)$ es ilimitado. Supongamos por ejemplo que $(b_n)$ limit $l\gt 0$. Después de un tiempo $b_n\gt \frac{l}{2}$, lo que significa que la secuencia de $(a_n)$ no está delimitado por encima.

Similar pero un poco más complicado razonamiento ofertas con $l\lt 0$. Hay una absoluta enlazado $B$ sobre los elementos de $(a_n)$. Elegir un gran $n$, e ir hacia abajo.