David, no sé si todavía están interesados en esto, ha sido más de un año. Me tropecé con su pregunta en las profundidades de la MO. A menudo he encontrado que Weil restricciones de curvas elípticas dar buen familias de ejemplos en los que usted puede probar las cosas.
E. g. tome una familia de curvas elípticas $y^2=x^3+t$ y Weil restringir de ${\mathbb Q}(i)$${\mathbb Q}$. Escrito $x=x_1+x_2i$ y de manera similar para$y$$t$, la ampliación de la ecuación y dividirla en partes real e imaginaria, se obtiene una familia de 2 dimensiones abelian variedades de más de ${\mathbb Q}(t_1,t_2)$ da por dos ecuaciones en una de las 4 dimensiones del espacio,
$$
y_1^2-y_2^2 = x_1^3 - 3x_1 x_2^2 + t_1, \qquad
2y_1y_2 = x_1^2x_2 - 3x_2^3 + t_2.
$$
Alternativamente, puedes corregir la curva elíptica, pero deja que la extensión varían con $t$ (por ejemplo,${\mathbb Q}(t^{1/3})$), o ambos, y usted también consigue interesante familias.
Lo realmente bueno es que a diferencia de Jacobians, Weil restricciones son triviales para escribir en términos de ecuaciones. Durante la clausura algebraica son isogenous isomorfo a los productos de curvas elípticas (haciéndolos más aburrido), pero para aritmética de las aplicaciones que son interesantes. Hay una pequeña extensión de esta construcción, cuando no de cambio de base de la curva elíptica pero "tensor con un ${\mathbb Z}-$módulo con un Galois de acción", que no es necesariamente una permutación módulo. Esto se explica en Milne del papel "En la aritmética de abelian variedades" (Inventar. De matemáticas. 1972) de la sección 2, y es útil si desea escribir no principalmente polarizado ejemplos.
