Orientación sobre superficies de Riemann

Question

$\mathcal{X}$ es una superficie de Riemann y $\mathcal{E}^{(2)}(\mathcal{X})$ $\mathbb{C}$- espacio Vectorial de todos los diferenciable $2$formularios en $\mathcal{X}$. Quiero definir la orientación de $\mathcal{X}$:

¿Por qué es $\mathcal{X}$ orientable si y sólo si existe un $2$forma $\omega \in \mathcal{E}^{(2)}(\mathcal{X})$ sin ceros?

¿A qué nos referimos con el Estándar de la Orientación de $\mathcal{X}$?

(Tal vez mi pregunta sea un poco más fácil si tomamos $\mathcal{X}=\mathbb{C}$ como un ejemplo.)

Answer 1

Resulta que un complejo colector de $X$ (ex. su superficie de Riemann) tiene una canónica de la orientación. De hecho, ninguna de base local de campos vectoriales $\frac{\partial}{\partial x_i}$, $\frac{\partial}{\partial y_i}$ procedentes de locales de holomorphic coordenadas $z_i$. El uso de la CR-ecuaciones, se puede demostrar que estas bases de definir una constante de orientación de $X$.

Answer 2

Este es un hecho general sobre la suave colectores, usted no necesita superficies para esto.

Deje $M$ ser un liso $n$-dimensiones múltiples. Supongamos que existe un suave grado $n$ formulario $\omega$ que no se desvanecen en cualquier lugar. Entonces, si escribimos $\omega$ en las coordenadas $x_i$: $$ \omega=f(x)dx_1\wedge ... \wedge dx_n. $$ Si cambiamos las coordenadas a $y_j$: $$ \omega= g(y)dy_1\wedge ... \wedge dy_n $$ donde $g/f=J_h$, el Jacobiano de la transición mapa de $h$. Ahora, elija local de coordenadas tal que $f(x)>0$ para cada gráfico. A continuación, la transición mapa ha positiva Jacobiana, por lo tanto, tenemos una orientación atlas.

Por el contrario, supongamos que tenemos una orientación atlas, es decir, uno donde los mapas de transición positiva Jacobians. WLOG, podemos asumir que el atlas es localmente finito (desde $M$ es finito-dimensional: incluso podemos suponer que su multiplicidad es $\le n+1$.) Deje $(\eta_{\alpha})$ ser una partición de la unidad en $M$ para la correspondiente apertura de la tapa $(U_\alpha)$$M$. Para cada tabla de $(U_\alpha, \phi_\alpha)$ dejamos $\omega_\alpha\in \Omega^n(U_\alpha)$ ser el pull-back de la forma $$ dx_1\wedge ... \wedge dx_n $$ en $\phi_\alpha: U_\alpha\to R^n$. Por último, definir $$ \omega=\sum_{\alpha} \eta_\alpha \omega_\alpha. $$ Este es el requerido ningún lugar de fuga forma. A ver que $\omega$ no tiene ceros, escribir $\omega$ en coordenadas locales para algunos $U_0$. A continuación, tiene la forma $$ \sum_{\alpha} h_\alpha(x) \eta_\alpha(x)dx_1 \wedge ...\wedge dx_n $$ y $h_\alpha(x)>0$ por cada $x$ (debido a que los mapas de transición positiva Jacobians, ver arriba). Ahora, observa que $$ \sum_{\alpha} h_\alpha(x) \eta_\alpha(x)> $$ $$ \epsilon \sum_{\alpha} \eta_\alpha(x)=\epsilon>0, $$ donde $h_\alpha(x)\ge \epsilon$ por cada $\alpha$ tal que $U_\alpha\cap U_0\ne \emptyset$.