Demostrando los números reales son completos

Question

En Rudin del libro, la siguiente prueba se publica:

Deje $A$ ser el conjunto de todos los racionales positivos $p : p^2 < 2$. Deje $B$ ser el conjunto de todos los racionales positivos $p : p^2 > 2$. $A$ no contiene mayor número y $B$ no contiene más pequeño.

Vamos q ser racional. Más explícitamente, $$\forall p \in A, \exists q \in A : p < q$$

y $$\forall p \in B, \exists q \in B : q < p$$

Esto necesita de prueba.

Ahora se introduce un par de ecuaciones que no tienen claro donde ellos se derivan. De la siguiente manera,

Para ello, hemos asociado con cada racional $p > 0$ el número de $$q = p - {\frac{p^2-2}{p+2}} = {\frac{2p+2}{p+2}}$$

a continuación, $$q^2 - 2 = {\frac {2(p^2-2)}{(p+2)^2}}$$

Entonces va a demostrar lo $p \in A \rightarrow q \in A$; lo mismo para el conjunto B.

Mi pregunta es: ¿Cómo hizo llegar a esos ecuaciones - en particular, la primera de ellas (desde la segunda es claro)?

Answer 1

Si $p\in\mathbb{Q}$ es menor que $\sqrt{2}$, queremos encontrar otro racional $p<q<\sqrt{2}$. Ahora, esto puede ser fácilmente manejado con fracciones decimales, pero si quieres algo más elegante que se basa únicamente en $p$, básicamente, lo que quiero hacer es encontrar un racional $r\in\mathbb{Q}\cap(0,\sqrt{2}-p)$ y definen $q=p+r$.

Tenga en cuenta que $\sqrt{2}-p\not\in\mathbb{Q}$, pero $2-p^2 = (\sqrt{2}-p)(\sqrt{2}+p)\in\mathbb{Q}$. Si queremos que sea lo suficientemente pequeño, basta con que $\frac{\sqrt{2}+p}{2+p} < 1$, por lo que $$\frac{2-p^2}{2+p} = (\sqrt{2}-p)\frac{\sqrt{2}+p}{2+p}<\sqrt{2}-p.$$

Answer 2

La fórmula no es importante. La enseñanza de cómo venir para arriba con un bonito fórmulas como la que está más allá del alcance de este libro: es más en el dominio de métodos numéricos o, posiblemente, la teoría de números. (aunque tal vez el método de Newton se habla en el libro; es una especie de suerte que funciona muy bien aquí)

Centrándose en la manera de encontrar la fórmula es un arenque rojo -- aunque puede ser interesante como un estudio independiente, es realmente irrelevante para lo que usted está tratando de aprender de su libro: todo lo que importa es que se puede hacer. Si usted no tiene que bella fórmula, sólo tendría que hacer algo tedioso y sencilla; por ejemplo, algo con aproximaciones decimales.

Hacer el tedioso y directo de la cosa, sin embargo, nos distrae de la idea de que él está tratando de enseñar. No sólo le empantanarse en detalles, pero de repente, usted está tratando de aprender dos cosas en lugar de sólo uno.

Por lo tanto, Rudin sacó algo bueno de un sombrero, un simple modo de blitz a través de los detalles técnicos de una simple idea que se quiere transmitir acerca de los conceptos básicos del campo de los números reales, por lo que se puede conseguir con la enseñanza de análisis.

Answer 3

Formalmente? La fórmula para $q$ no viene de ninguna parte; se acaba de sacar de un sombrero. Él lo utiliza para definir $q$. Ya que lo que estamos tratando de demostrar es que la $q$ con tales y tales propiedades existe, puede producir una $q$ en cualquier loco de la manera que usted desea, siempre y cuando usted es capaz de demostrar después que tiene tales y tales propiedades.

Answer 4

Yo me preguntaba lo mismo cuando leí esta sección en Rudin del texto. Yo creo que él está utilizando una forma modificada del método de Newton para encontrar un número racional $q$ satisfacción $p<q$$q^2<2$, como sigue:

Debido a $y=x^2-2$ es cóncava hacia arriba, utilizando el método de Newton aproximación $q=p-\frac{f(p)}{f^{\prime}(p)}=p-\frac{p^2-2}{2p}$ daría un número $q$ con $q^2>2$, por lo que quiere conseguir una pequeña aproximación mediante la sustitución de $2p$ $p+a$ para algunas constantes $a$. En orden para que esto realmente sea menor, él necesita $p+a>2p$ o, de manera equivalente, $a>p$.

Si se elige cualquiera de las $a$ $a^2>2$ (de modo que, a continuación, $a>p$ también está satisfecho), entonces él va a obtener un $q$ que le da lo que él quiere, ya que $q=p+\frac{2-p^2}{p+a}>p$ y

$p^2<2\implies(a^2-2)p^2<2(a^2-2)\implies a^2p^2-2p^2<2a^2-4$

$\implica un^2p^2+4ap+4<2p^2+4ap+2a^2\implica (ap+2)^2<2(p+a)^2\implica $$q^2=\bigg(\frac{ap+2}{p+a}\bigg)^2<2$.

Esto demuestra que Rudin podría haber optado $q=p-\frac{p^2-2}{p+a}$ para cualquier $a$ $a^2>2$ , y que es mi mejor conjetura en cuanto a cómo se encuentra esta aproximación.

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De otra manera él podría haber encontrado un adecuado valor de $q$ es utilizar el método de Newton con $f(x)=x-\frac{2}{x}$, ya que esta función es cóncava hacia abajo, y esto daría $q=p-\frac{f(p)}{f^{\prime}(p)}=p-\frac{p-\frac{2}{p}}{1+\frac{2}{p^2}}=\frac{\frac{4}{p}}{1-\frac{2}{p^2}}=\frac{4p}{p^2+2}$.

Answer 5

Como Henning Makholm dice, no es muy importante saber de donde la fórmula viene. Sin embargo, podemos tratar de adivinar cómo se encuentra.

De una manera más natural para estar más cerca de a $\sqrt{2}$ a considerar la posibilidad de $q_1=(p+2/p)/2)$. Por desgracia, es en el lado equivocado de $\sqrt{2}$. Para volver atrás en el lado derecho, puede utilizar la fórmula dos veces, dejando $q_2=(q_1+2/q_1)/2.$ Esta sería una alternativa a prueba con un proceso más complejo, en busca de la fórmula que el elegido por Rudin.

Ahora, mira a $q_1-p=-\frac{p^2-2}{2p}.$ Hace el numerador sonar una campana ?