Demostrar que $\int_a^c f(t)dt - \int_c^b f(t)dt = f(c)(a+b-2c) $, $c\in(a,b)$

Question

Que $f$ ser un continuo en $[a,b]$ luego probar que existe un $c$ que se encuentra en $(a,b)$ tal que
$$\int_a^cf(t)\,dt - \int_c^b f(t)\,dt = f(c)(a+b-2c) $$

y por lo tanto demostrar que $\int_a^c f(t)\,dt - \int_c^b f(t)\,dt = n f(c)(a+b-2c) $ donde $n \ge0$

He podido probar la primera parte. pero no para general $n$. Yo utilizó rolles teorema para demostrar la primera parte. No sé en qué etiqueta poner esta pregunta en.

Answer 1

Al $n=0$, es el Teorema del Valor Intermedio aplicado a $$ g:x\to \int_a^{x} f\int_{x}^b f . $$

Supongamos $n>0$. Deje $$d=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b.$$ Si $g (d)=0 $ la desigualdad es demostrado por todos los $n$. Supongamos que este no es el caso : no es $c_0\in(a,b)\setminus\{d\}$ donde $g(c_0)=0$.

La sustitución de $f(x)$ $f(a+b-x)$ si es necesario, podemos suponer que $c_0<d$.

Considere la función $$ H(x):x\a|a+b-2x|^{1/n}g(x). $$

Tenga en cuenta que $H$ es continua en ambos $[a,d]$ y diferenciable en a $[a,d)$.

Como $H(c_0)=H(d)=0$, aplicando el Teorema de Rolle en $[c_0,d]$ obtenemos que para algunos $c\in(c_0,d)$, $H^\prime(c)=0$, es decir, $$ 0=-\frac{2}{n}(a+b-2x)^{\frac{1}{n}-1}g(c)+(a+b-2x)^{1/n}\left(2f(c)\right), $$ en otras palabras, $$ \int_a^cf -\int_c^b f = nf(c)(a+b-2c). $$

Answer 2

Para el caso de que $n \geq 0$, voy a reformular el problema de la siguiente manera:

Mostrar $$ \int_a^cf(t) + nf(c)dt = \int_c^bf(t)+nf(c)dt $$ Esto es sólo reorganización de algunos términos, y el factoring algunas cosas para que todo esté dentro de una integral. Desea dividir el paréntesis en el lado derecho, de modo que usted tiene un $(a-c)$ plazo y un $(b-c)$ plazo. El resto se los dejo como ejercicio. Déjame saber si te quedas atascado allí, y puedo ampliar un poco más en los comentarios.

Y, lo creas o no, esa fue la parte difícil.

Ahora, tome cada lado de esta ecuación por separado. A partir de la hipótesis, sabemos que $$\int_a^cf(t) + nf(c)dt$$ es un continuo, delimitadas en función de $c$. Vamos a llamar $$ G(c) = \int_a^cf(t) + nf(c)dt. $$ Ahora, $G(a) = 0$, e $$G(b) = \int_a^bf(t) + nf(c)dt$$.

Vamos a llamar el lado derecho $$H(c) = \int_c^bf(t)+nf(c)dt.$$ Este es también un continuo, delimitadas en función de $c$. También sabemos que $$H(a) = \int_a^bf(t)+nf(c)dt$$ y $H(b) = 0$.

Usando el teorema del valor intermedio, y el conocimiento que hemos adquirido sobre $G(c)$$H(c)$, podemos concluir que debe haber algún punto en el medio de estas dos funciones de la cruz. Es decir, hay algún punto de $C$ que hace $G(C) = H(C)$.

Por lo tanto, la conclusión a la que ostenta, que existe un punto de $c\in(a,b)$ tal que $$ \int_a^cf(t)dt -\int_c^bf(t)dt = nf(c)(a+b-2c) $$

Nota al margen: Utilizando el teorema de Rolle para resolver la primera parte de esta pregunta es bastante ingenioso. Sin embargo, yo no creo que haya una forma equivalente a lo que por $n > 0$ de los casos. El IVT parece que la intención de la solución para ambos casos.

Answer 3

Definir: $$ f (x) = \int_a^x f (t) \, \mathrm{d} t $$ entonces su expresión es: $$ f (c) - (f - f = 2 f (c) - f $$ si usted substituye su identidad, por el Teorema fundamental del cálculo se obtiene la ecuación diferencial: $$ F'(c)(a + b-2 c)-2 f (c) = - f $$ Su solución es: $$ f (c) = \frac{F(b) (c - a)} {c 2 - a - b} $$ distinguen $F$ y obtendrá la única función satisfacer su identidad.