Ampliación campo $\mathbb{C}(t,u)$ $\mathbb{C}(t^n,u^n)$

Question

Deje $E$ ser una extensión de $\mathbb{C}$ tal que $E$ = $\mathbb{C}(t,u)$ donde $t$ es trascendental $\mathbb{C}$ $u$ satisface la ecuación de $u^2+t^2=1$$\mathbb{C}(t)$.

deje $n = 2m + 1$ y deje $\mathbb{C}(t^n,u^n)$ ser una extensión de terreno de más de $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}(t,t^n,u^n)$ es una división de campo de más de $\mathbb{C}(t^n,u^n)$ de $x^n-t^n$ ($\mathbb{C}$ contiene las raíces enésimas de la unidad) en el hecho de $\mathbb{C}(t,t^n,u^n)$ = $\mathbb{C}(t,u)$ desde $u^{2m} = (1-t^2)^{m}$ $u = u^n/(1-t^2)^{m}$ por lo tanto $\mathbb{C}(t,u)$ es una división de campo de más de $\mathbb{C}(t^n,u^n)$ de $x^n-t^n$ podemos aplicar el mismo debate a $u$ para obtener $\mathbb{C}(u,t^n,u^n)$ = $\mathbb{C}(t,u)$ y $\mathbb{C}(t,u)$ es una división de campo de más de $\mathbb{C}(t^n,u^n)$ $x^n-u^n$

deje $\eta \in Gal\mathbb{C}(t,u)/\mathbb{C}(t^n,u^n)$ $\eta(t) = zt$ $\eta(u) = qu$ donde $z$ $q$ son las raíces enésimas de la unidad

PERO $\eta(u^2) + \eta(t^2) = 1$ implica $q^2u^2 + z^2t^2 = 1$ implica $q^2(1-t^2) + z^2t^2 = 1$ puesto que t es trascendental $\mathbb{C}$ por lo tanto $q^2 = z^2$$q^2 = 1$, lo que es absurdo cuando se $m \gt 0$, por lo $Gal\mathbb{C}(t,u)/\mathbb{C}(t^n,u^n) = \{1\}$ al $m \gt 0$ esto significa$\mathbb{C}(t,u) = \mathbb{C}(t^n,u^n)$

así que debo haber hecho algo de grotesco error anterior (es $sinx$ expresable de manera racional con coeficientes complejos en términos de $cos^nx$ y $sin^nx?$ $n = 2m + 1 $, $ m \gt 0 $), quien me puede ayudar a resolverlo? gracias!!!!

Answer 1

Usted no hizo nada malo.

$K = \Bbb C(t^n,u^n) \cap \Bbb C(t) $ contiene $t^n$ $u^{2n} + t^{2n} = (1-t^2)^n + t^{2n} = f(t)$ donde $f$ es un polinomio de grado $2n-2$, que es coprime con $n$.

A continuación, $[K : \Bbb C(t)]$ tiene que dividir ambos $n$$2n-2$, por lo que debe ser $1$.

Por ejemplo supongamos $n=3$ y escribir $T = t^3, U = u^3$.

tenemos $(T^2 + U^2 - 1) - 3tT + 3t^2 = 0$$T - t^3 = 0$.

Entonces esto es sólo una cuestión de eliminación para obtener más pequeño el aniquilamiento de polinomios (si calcular el resolvant de los dos polinomios se obtiene la ecuación satisfecho bewteen $U$ $T$ queremos que el paso justo antes de que) :

$t(T^2+U^2-1) - 3t^2T + 3t^3$
$3T + t(T^2+U^2-1) - 3t^2T $
$T(T^2+U^2-1) - 3tT^2 + 3t^2T$
$T(T^2+U^2+2) + t(-2T^2+U^2-1)$

por lo tanto $t = \frac {T(T^2+U^2+2)}{2T^2-U^2+1}$

Estoy bastante seguro de que el numerador y el denominador pueden ser obtenidos de forma sistemática y con un bien elegido determinante como el resolvant.