% De uso $(1-x)^{2n} = (1-x)^n(1-x)^n$para probar la identidad $${2n \choose n} = \sumk {n \choose k}^2$ $ convertí $(1-x)^{2n}$ en una serie de binomio rendimiento $$\sum{k=0}^{2n} {2n \choose k} (-x)^k$ $ y convertí $(1-x)^{n}$ en una serie de binomio rendimiento %#% $ de #% combinan estas series para obtener $$\sum{k=0}^{n} {n \choose k} (-x)^k$ $ dividido por $${2n \choose k} (-x)^k = \sum{k=0}^{n} {n \choose k} (-x)^k {n \choose n-k} (-x)^{n-k}$ para eliminar los términos x y ahora estoy atrapado en $(-x)^k$ $ Básicamente estoy luchando para conectar los puntos finales y crear el punchline de la prueba. ¡Cualquier ayuda sería mucho apreció!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es conveniente usar el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ de una serie. Así, podemos escribir por ejemplo $$\binom{n}{k}=[x^k](1+x)^n$$.
También utilizamos OPs identidad en la forma $(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}$, es decir, $x$ reemplazado por $-x$, lo que simplifica un poco el cálculo.
Obtenemos \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2&=\sum_{k=0}^n[x^k](1+x)^n[y^k](1+y)^n\\ &=[x^0](1+x)^n\sum_{k=0}^nx^{-k}[y^k](1+y)^n\tag{1}\\ &=[x^0](1+x)^n\left(1+\frac{1}{x}\right)^n\tag{2}\\ &=[x^0](1+x)^nx^{-n}(1+x)^n\\ &=[x^n](1+x)^{2n}\\ &=\binom{2n}{n} \end{align*}
Comentario:
En (1), usamos la regla de $[x^k]f(x)=[x^0]x^{-k}f(x)$
En (2), usamos la sustitución de la regla de $f(x):=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=\sum_{k=0}^n[y^k]f(y)x^k$
