A través de cualquier $n$distintos puntos en un plano podemos trazar una línea recta.

Question

Yo no puede entender lo que está mal con esta paradoja. Cómo debemos estrictamente matemáticamente explicarlo?

La inducción matemática:

1. La base:

$n=1,n=2$. A través de cualquiera de los dos (uno de) los puntos de un plano que podemos dibujar una línea recta.

2. El paso inductivo:

$n=k$. A través de cualquier $k$ distintos puntos de un plano que podemos dibujar una línea recta.

3. Falsa Paradoja:

Tenemos una arbitraria $k+1$ puntos en el plano: $P_1, P_2, ..., P_{k+1}$. De $2)$ (paso inductivo) podemos dibujar una línea recta $L_1$ a través de $k$ $P_1, P_2, ..., P_{k}$ y la línea de $L_2$ a través de$k$$P_2, ..., P_k, P_{k+1}$. Líneas de $L_1$ $L_2$ tiene al menos dos puntos en común $P_2$$P_k$. Pero cualquiera de los dos puntos distintos de una recta completamente determinar que la línea$\Rightarrow L_1=L_2$$P_{k+1} \in L_1$. Y hemos de probar que

A través de cualquier $n$ distintos puntos de un plano que podemos dibujar una línea recta.

Answer 1

Ya se ha etiquetado esta como tarea no voy a darte la respuesta, pero piensen en esto: la etapa 3. se basa en la $P_2 \ne P_k$. Cuando esto no suceda?

Editar (en respuesta al comentario): Vamos a $\phi$ ser una declaración acerca de los números naturales, es decir, se $\phi(n)$ si $\phi$ mantiene para algunos en particular $n$. Deje $n_0 \in \mathbb{N}$. El principio de inducción matemática estados que $\phi(n)$ tiene para todos los $n \ge n_0$ si y sólo si ambas de las siguientes condiciones son satisfechas:

• $\phi(n_0)$ mantiene; y
• Para cada una de las $n \ge n_0$ si $\phi(k)$ sostiene, a continuación, $\phi(k+1)$ mantiene.

Aquí podemos establecer $n_0=2$. Pero la segunda condición es no satisfecho, porque si fuera para estar satisfechos tendríamos $\phi(2) \Rightarrow \phi(3)$, pero como muestra este no es el caso, ya que el argumento de que lo haría de forma requeriría $P_2 \ne P_2$.

Answer 2

El argumento en el paso de la inducción no funciona ir de $n=2$ $n=3$: las dos líneas no están obligadas a ser la misma línea. Tratar de dibujar una imagen de un ejemplo.

Answer 3

Sugerencia: Sabemos que a través de cualquier 2 puntos en el plano podemos dibujar una línea recta, pero no es cierto para cualquier 3 puntos. Por lo tanto, debe enfocar su atención en el argumento de que la afirmación es verdadera para $n=2$ implica que es verdad $n=3$. No el argumento en 3. ¿(Falso par de patos) trabajo $k=2$ (3 puntos)?