Resolver

Question

No tengo ni idea de cómo resolver este límite. Traté de resolver el límite interno primero, pero el hecho de que tengo otra variable allí (n) realmente dificulta las cosas (nunca antes tuve que resolver ese límite). ¿Cómo se soluciona este tipo de límites?$$\lim_{n\to \infty }\left[\lim_{x\to \:0}\left(1+\sin^2x+\sin^22x+\ldots+\sin^2nx\right)^{1/(n^3x^2)}\right]$ $

Answer 1

Desde $\displaystyle\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, tenemos (comprueba fácilmente mediante el uso de $2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}$): $$ 1+\sum_{i=1}^n\sin(i x)^2=1+\frac{n}{2}-\sum_{i=1}^n\cos(2kx)=1+\frac{n}{2}-\frac{\cos((n+1)x)\sin(n x)}{2\sin x} $$ Así tenemos: $$ \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{n}{2}-\frac{\cos((n+1)x)\sin(n x)}{2\sin x}\right)^{\frac{1}{n^3x^2}} $$ Vamos a calcular el límite del logaritmo de la suma, ya que no es estrictamente positivo, el uso de la expansión en series de taylor alrededor de $0$: $$ \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\ln\left(1+\frac{n}{2}-\frac{\cos((n+1)x)\sin(n x)}{2\sin x}\right)}{n^3x^2}=$$ $$=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to 0}\left(\frac{2 n^2+3 n+1}{6 n^2}+\mathcal{S}(x^2)\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2 n^2+3 n+1}{6 n^2}=\frac{1}{3} $$ Por lo tanto el límite original es $e^{1/3}$.

Answer 2

$$ \begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow 0} [1 + \sin^2 x + \sin^2(2x) + \cdots + \sin^2(nx)]^{1/(n^3 x^2)} \\ &= \lim_{x\rightarrow 0} [1 + x^2 + (2x)^2 + \cdots + (nx)^2]^{1/(n^3 x^2)} \\ &= \lim_{x\rightarrow 0} \left[1 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} x^2\right]^{1/(n^3 x^2)} \\ &= \exp\left[\frac{(n+1)(2n+1)}{6 n^2} \right]. \\ \end {aligned} $$ Luego, tomando el límite de$n\rightarrow\infty$ da como resultado$e^{1/3}$.

Answer 3

Heurísticamente,$\sin x\sim x$ para$x$%.

Asi que,

ps

y

ps

Por lo tanto,

ps

y concluimos que

ps