Integral de seno multiplicada por la función de Bessel con argumento complicado

Question

Necesito una ayuda integral a continuación, $$ \int_0^\infty \sin(ax)\ J_0\left(b\sqrt{1+x^2}\right)\ \mathrm{d}x, $$ donde $a,b > 0 $ y real, $J_0(x)$ es el cero de orden de la función de Bessel de primera especie.

He encontrado algunas integrales similar a la integral anterior, pero no tengo ni idea de cómo aplicarlo. Aquí están algunas de las integrales que podría ser de ayuda. $$ \int_0^\infty \cos(ax)\ J_0\left(b\sqrt{1+x^2}\right)\ \mathrm{d}x = \frac{\cos\sqrt{b^2-a^2}}{\sqrt{b^2-a^2}}; \mathrm{~~for~0 < a < b} $$

$$ \int_0^\infty \sin(ax)\ J_0(bx)\ \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}; \mathrm{~~for~0 < b < a} $$

La prueba de la primera integral se puede ver aquí.

Answer 1

Aprovechando la representación integral de la función de $J_0$: %#% $ de #% tenemos: $$ J0(z) = \frac{1}{2\pi}\int{0}^{2\pi}e^{iz\cos t}\,dt \tag{1}$ $ donde: $$ \int_{0}^{+\infty}\sin(ax)\, J0(b\sqrt{1+x^2})\,dx =\frac{1}{2\pi}\int{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}\sin(ax)e^{ib\sqrt{x^2+1}\cos t}\,dt\,dx \tag{2}$ $ así: $$ \sqrt{x^2+1}\cos t = \cos(t-t_0)-x\sin(t-t_0),\qquad x=\tan t0 \tag{3}$ $ pero desde: %#% $ de #% contamos con: $$\begin{eqnarray*} I &=& \frac{1}{a}\sum{n\geq 0}\left(\frac{b}{a}\right)^{2n} \frac{1}{2\pi}\int{0}^{2\pi}\sin^{2n}(t)\cos(b\cos t)\,dt \&=&\frac{1}{a}\sum{n\geq 0}\frac{(2n)!}{n!}\left(\frac{b}{2a^2}\right)^n Jn(b)\&=&\frac{1}{a}\sum{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{m!}\left(\frac{b}{2}\right)^m\sum{n\geq 0}\left(\frac{b}{2a}\right)^{2n}\frac{(2n)!}{n!(n+m)!}\&=&\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{1}{a}\int{0}^{1}\sum{m\geq 1}\frac{(-1)^m}{m!(m-1)!}\left(\frac{b}{2}\right)^m(1-u)^{m-1}\sum{n\geq 0}\binom{2n}{n}\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)^{n}u^n\,du\&=& \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}+\int{0}^{1}\sum{m\geq 1}\left(\frac{b}{2}\right)^m \frac{(-1)^m}{m!(m-1)!}\frac{(1-u)^{m-1}}{\sqrt{a^2-b^2 u}}\,du\&=& \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\int_{0}^{1}\frac{J1(\sqrt{2b(1-u)})}{\sqrt{(a^2-b^2 u)(1-u)}}\,du\&=&\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}-\sqrt{2b}\int{0}^{1}\frac{J_1(t\sqrt{2b})}{\sqrt{(a^2-b^2)+b^2 t^2}}\,dt.\tag{6}\end{eqnarray *} $$