Si una función entera satisface $|f(z)| \leq C e^{M|z|}$ y $f(x)$ puede ' decaimiento t Super exponencialmente como $x\to\infty$

Question

<blockquote> <p>Que $f$ ser una función entera distinto de cero. Supongamos que existen números reales positivos $C$ y $M$ tal que $|f| \leq C e^{M|z|}$.</p> <p>Indican que no hay ninguna función $g(x)$, definido en $x>0$ $\lim_{x \to \infty} g(x)=+\infty$ tal que $f(x)=O(e^{-xg(x)})$ $x \to \infty$.</p> </blockquote> <p>Fuente: estoy leyendo análisis complejo de Stein.</p> <p>De la Asunción, puedo saber que el orden de $f$ es menor o igual a $1$. Entonces ¿cómo puedo obtener desde allí?</p>

Answer 1

Se debe seguir a partir de los teoremas de factorización... no sé que cosas lo suficientemente bien y no voy a mirar hacia arriba.

Es suficiente para mostrar que existe una función de $h(r)$ definido por $r>0$ tal que $h(r)\to\infty$ $$|f(re^{it})|\le e^{-rh(r)}\quad(r>0,0<t<\pi/4).$$

En efecto, supongamos que es así, vamos a $\omega=e^{2\pi i/8}$, y definir $$F(z)=\prod_{k=0}^7f(\omega^kz).$$ Then $F$ is an entire function which tends to zero at infinity; hence $F=0$ and it follows that $f=0$.

La existencia de una función de $h$ se deduce del hecho de que $u=\log|f|$ es subarmónicos.

Primero vamos a $G(r)=\inf_{r/2<t<2r}$, y tenga en cuenta que $G(r)\to\infty$. Fix $r>0$, vamos $$S=\{\rho e^{it}:r/2<\rho<2r,0<t<\pi/2\}$$ and $$K=\{re^{it}:0< t\le\pi/4\}.$$ Think about the Dirchlet problem in $S$. It's "clear" that there exists $\alpha\en(0,1)$ such that the harmonic measure of the interval $[-r/2,2 r]$ with respect to any point of $K$ is at least $\alpha$. Heh - Garnett tells us that the best intuition regarding harmonic measure is given by Brownian motion, and it's clear that if you take Brownian motion started at any point of $K$ the probability that the first point where you hit $\parcial S$ is a point of this interval is at least $\alpha$. (Véase el Complejo Simple para un no-riguroso, pero totalmente convincente explicación de lo que el movimiento Browniano tiene que ver con la medida armónica, libre de nasty detalles como las definiciones y pruebas...) Ver Nota a Continuación

Desde $u\le 2Mr$ sobre todo $\partial S$ mientras $u\le -rG(r)/2$ en el intervalo de $[-r/2,2r]$ esto demuestra que $$u(z)\le 2(1-\alpha)Mr-\alpha rG(r)/2\quad(z\in K);$$ this gives the inequality we need, with $$h(r)=-2(1-\alpha)M+\alpha G(r)/2.$$

Nota: Voy a dejar el texto tal como es, porque creo que hace que la existencia de $\alpha$ máximo clara. Pero es un poco difusa. He aquí una prueba real con ningún handwaving a todos:

Nótese en primer lugar que el $S$ obtenemos un valor de $r$ es similar a la $S$ para otro valor de $r$, por lo que cualquier $\alpha$ que funciona para una $r$ funciona para todas las $r$.

Ahora $S$ es sin duda una de Dirichlet de dominio. Decir $v$ es armónica en $S$ y continuo, sobre el cierre, con $0\le v\le 1$, de tal manera que $v$ se desvanece en $\partial S\setminus[r/2,2r]$ $v=1$ en la mayoría de $[r/2,2r]$. La armónica de la medida en cuestión es mayor que o igual a $v$, y es claro que $v$ se apartó de $0$ $K$ porque $v$ es continua y estrictamente positiva en $\overline K$.