Prueba

Question

Me ha pedido probar $\mathrm{Aut}\; \Bbb{Z}\cong \Bbb{Z_2}$.

Pensé Si pruebo que $\mathrm{Aut}\; \Bbb{Z}$ tiene dos elementos, entonces estoy hecho. Claramente, $f(a)=a$ y $g(a)=-a$ pueden ser los dos automorfismos. Basado en algunos cálculos ásperos, sé que no puede ser cualquier automorphisms más. ¿Esto forma una prueba por cualquier tramo de la imaginación?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

De hecho, si lo ponemos $G=\mathbb Z=\langle x\rangle$ $G$ ser infinito y si $f\in \operatorname{Aut}(\mathbb Z)$ y $f(x)$ debe ser un generador de $G$ sí mismo. ¿Ahora piense de cuántos generadores ha $G$? Esto es muy interesante para mí porque un grupo infinito tiene un grupo de automorfismo finito.