En cuanto a la primera pregunta, el hecho de que una función sea o no de "valor escalar" no depende del sistema de coordenadas del dominio. Cualquier función que evalúe a un valor en el campo subyacente, en este caso $\mathbb{R}$ es escalar. Sin embargo, a menos que se indique explícitamente lo contrario, la gente suele asumir coordenadas cartesianas con los vectores de base estándar cuando hacen referencia a $\mathbb{R}^n$ .
Su segunda pregunta requiere un poco más de trabajo para responder, pero la respuesta corta es, sí, ya que es normalmente definido, el gradiente se especifica en términos de coordenadas cartesianas, pero hay un enfoque mucho mejor. Recientemente he estado trabajando en material que está directamente relacionado con esto. Véase, por ejemplo, esta pregunta Hace poco lo planteé. La cuestión era la siguiente:
Si $f:X\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ entonces la derivada de $f$ en $x_0$ , $df_{x_0}$ es una función lineal $df_{x_0}:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$ Por el teorema de la representación de Riesz existe un único vector en $\mathbb{R}^n$ que denotamos por $\nabla f(x_0)$ que satisfaga
$$ df_{x_0}(v) = g(v, \nabla f(x_0)) $$ para cada $v \in \mathbb{R}^n$ y donde $g$ es un producto interno sobre $\mathbb{R}^n$ Nótese que esta definición está libre de coordenadas pero requiere la existencia de un producto interior (que puede ser o no el estándar). Véase por ejemplo [AMANN, p 160] o [FRANKEL, p46] para una discusión de esta perspectiva.
Ahora bien, resulta que si se utilizan vectores de coordenadas cartesianas estándar, entonces se puede recuperar la definición "típica" del gradiente a partir de ésta. Para ver esto, sin embargo, y para ver de dónde viene la expresión para el gradiente en coordenadas esféricas que usted proporcionó en su pregunta, nos obliga a cavar más profundo.
Ahora, se puede demostrar que
$$ \nabla f(x_0) = (g^{1k} \partial_k f(x_0), \dots, g^{nk} \partial f(x_0)) $$
donde $g^{ij}$ denota el $i,j$ entrada de la inversa de la matriz $G = [g_{ij}]$ Le remito de nuevo a mi anterior pregunta para conocer los detalles de esta declaración. Así pues, esta expresión nos da una forma concreta de calcular realmente el gradiente, pero para ello tendremos que averiguar cómo calcular realmente la matriz $G$
Como ejemplo (manejable), consideremos las coordenadas polares. Están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las conocidas fórmulas $x = r \cos (\theta)$ y $y = r \sin (\theta)$ . Se puede demostrar que la matriz $G$ viene determinada por la relación $G = J^TJ$ donde $J$ es el jacobiano de la transformación en cuestión. Véase [KAY, p54] para una referencia a este hecho.
En el caso de coordenadas polares, la transformación viene dada por $$ T(r,\theta)= (r \cos (\theta), r \sin (\theta)) $$
El jacobiano de la transformación es entonces
$$ J = \bigl( \begin{array}{ccc} \cos (\theta) & -r \sin (\theta) \\ \sin (\theta) & r \cos(\theta) \end{array} \bigr) $$
Tras analizar los detalles, descubrimos que
$$ G = J^TJ = \bigl( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{array} \bigr) $$
Por lo tanto,
$$ G^{-1} = \bigl( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r^2} \end{array} \bigr) $$
A partir de esta matriz podemos leer $g^{ij}$ de lo que se deduce que
$$ \nabla f(x_0) = (\partial_r f(x_0), \frac{1}{r^2} \partial_{\theta} f(x_0)) $$
Pero aún no hemos terminado. Esta expresión no concuerda con lo que se suele encontrar, que es
$$ \nabla f(x_0) = (\partial_r f(x_0), \frac{1}{r} \partial_{\theta} f(x_0)) $$
donde falta un factor de $r$ en la segunda coordenada. ¿Qué ocurre aquí? En primer lugar, observamos que como estamos trabajando en $r - \theta$ coordenadas, el vector gradiente es relativo a $r - \theta$ bases. Nuestra notación de componentes oculta este hecho. Así que lo que realmente tenemos es
$$ \nabla f(x_0) = \partial_r f(x_0) e_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta}f(x_0)e_{\theta} $$
donde $e_r$ y $e_{\theta}$ denotan el $r - \theta$ vectores base. ¿Qué son? Bueno, siempre se puede usar la geometría para averiguarlo, pero como yo soy muy malo en geometría, me gusta pensar que se definen analíticamente como vectores tangentes. Ver [KOKS, p 298] para una discusión de esta perspectiva. Para determinarlos sólo tenemos que diferenciar nuestra transformación $T$ con respecto a $r$ y $\theta$ respectivamente. Así,
$$ e_r = \partial_r T = (\cos (\theta), \sin(\theta)) $$
y
$$ e_{\theta} = \partial_{\theta}T = r(-\sin( \theta), \cos (\theta)) $$
Tenga en cuenta, no obstante, que aunque $e_r = \hat{e_r}$ es un vector unitario $e_{\theta}$ no lo es. Utilizando un poco de álgebra vemos que $e_{\theta} = |r|\hat{e_{\theta}}$ . Por lo tanto, el gradiente con respecto al unidad viene dada por
$$ \nabla f(x_0) = \partial_r f(x_0) \hat{e_r} + \frac{1}{r} \partial_{\theta}f(x_0)\hat{e_\theta} $$
y por lo tanto estamos de acuerdo con la expresión común para el gradiente en coordenadas polares.
Referencias:
[AMANN] Amann y Escher, Análisis II
[FRANKEL] Frankel, La Geometría de la Física
[KAY] Kay, Schaum's Outline of Tensor Calculus
[KOKS] Koks, Exploraciones en Física Matemática
